Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Примеры решений криволинейных интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения криволинейных интегралов первого и второго рода (непосредственное вычисление, по разным путям, по формуле Грина), а также применение к вычислению моментов инерции, массы, работы, силы притяжения и т.п.

Содержание
  1. Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений
  2. Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений
  3. Моменты инерции: примеры решений
  4. Другие задания: примеры решений
  5. Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint
  6. Контакты
  7. Криволинейные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения
  8. Криволинейные интегралы первого рода
  9. Криволинейные интегралы второго рода
  10. Дополнение к криволинейному интегралу
  11. Решение криволинейных интегралов
  12. Существование криволинейного интеграла 1-го рода
  13. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода
  14. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода
  15. Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых
  16. Криволинейные интегралы 2-го рода
  17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода
  18. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
  19. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода
  20. Формула Грина
  21. Площадь плоской области
  22. Приложения криволинейных интегралов
  23. Масса кривой
  24. Площадь цилиндрической поверхности
  25. Площадь плоской фигуры
  26. 🌟 Видео

Видео:Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать

Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривой

Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой $L$:

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл I рода $int_L y^2 dl$, $L$ — арка циклоиды $x=(t-sin t)/2$, $y=(1-cos t)/2$, $0 le t le pi$.

Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл $int_L y^2 dl$, где $L$ – дуга параболы $y^2=2x$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;sqrt)$.

Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 100 рублей, срок от нескольких часов.

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой $L$: $int_L x^2 dy -xydx$, где $L$ — часть кривой $x^4-y^4=6x^2y$ от точки $A=(-4sqrt;4)$ до точки $B=(0;0)$

Задача 5. Вычислить интеграл $$int_L z^2x dx +(z+x+y)dy +y^2zdz,$$ где $L$ — кривая $a^2+y^2=ax, x^+y^2=z^2$ положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.

Задача 6. Вычислить криволинейный интеграл $int_ (y^2+x)dx+2x/y dy$ вдоль кривой $y=e^x$ от точки $A(0;1)$ до точки $B(1;e)$.

Задача 7. Проверить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и найти его значение.

Задача 8. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования, и найти его значение (двумя способами – непосредственно и с помощью потенциала).

Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина

$$int_l (x-y^2)dy + (x^3+3y)dx, quad l: x=y, y=x^2.$$

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода

Моменты инерции: примеры решений

Задача 10. Найти моменты инерции относительно осей однородных дуг $L$ плотности $rho$.

Задача 11. Вычислить момент инерции верхней половины окружности $x^2+y^2=a^2$ относительно оси $Oy$, если плотность $delta=1$.

Видео:Криволинейный интеграл 2 родаСкачать

Криволинейный интеграл 2 рода

Другие задания: примеры решений

Задача 12. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды $x=a cos^3 t$, $y=a sin^3 t$, $0 le t le pi/2$ единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.

Задача 13. Вычислить работу силы $F(z,-x,y)$ вдоль дуги винтовой линии $z=2cos t$, $y=3sin t$, $z=4t$, $0 le t le 2pi$.

Задача 14. Доказать, что данное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ является полным дифференциалом функции $Ф(x,y)$ и найти ее с помощью криволинейного интеграла.

Задача 15. Вычислить работу силы $overline$ при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой $L$ от точки $B$ до точки $C$, если значения параметра $t$ в точках $B$ и $C$ заданы.

$$ overline=-x overline+2y^2overline, quad x=2cos t, y=sint, quad t_B=0, t_C=pi/6. $$

Задача 16. Вычислить массу кривой $y=x^2/2$, где $xin (sqrt, 2sqrt)$, если линейная плотность задана функцией $f(x,y)=6y/x$.

Видео:Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го родаСкачать

Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го рода

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Криволинейный интеграл 1 рода

Криволинейные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Криволинейные интегралы» вы познакомитесь с понятиями криволинейных интегралов первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам) от функций двух и трех переменных и научитесь вычислять их вдоль различных плоских и пространственных кривых, заданных параметрически, в декартовых и в полярных координатах, приводя криволинейные интегралы к определенным.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Видео:Криволинейный интеграл первого родаСкачать

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейные интегралы первого рода

Постановка задачи. Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

и dl — дифференциал длины дуги.

План решения. Криволинейный интеграл первого рода по кривой L определяется формулой

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Подчеркнем, что криволинейный интеграл первого рода не зависит
от направления обхода кривой и всегда Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

1.Вычисляем Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.

Замечание:

Если граничные точки кривой L Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи
Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintзаданы в декартовых координатах, то Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintопределяем, решая системы уравнений

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Замечание:

Если кривая задана как линия пересечения двух
поверхностей:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

то ее необходимо параметризовать.

Замечание:

Если плоская кривая задана уравнением у = у(х)
Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintто дифференциал длины дуги равен Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи формула (1) имеет вид

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Если плоская кривая задана в полярных координатах Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintуравнением Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintто дифференциал длины дуги равен

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

и формула (1) имеет вид

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — первый виток винтовой линии

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Решение:

1.Вычисляем: x'(t) = — sin t, y'(t) = cos t, z'(t) = 1, Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Ответ. Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — отрезок прямой от точки А(0, 0) до точки В(4, 3).

Решение:

1.В данном случае уравнение прямой есть Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи, следовательно, Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Подставляем эти результаты в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Ответ. Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — часть спирали Архимеда Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Решение:

1.Вычисляем: Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintтак как Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintпри Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Подставляем эти результаты в формулу (1″) и вычисляем определенный интеграл:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Ответ.Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Видео:Формула ГринаСкачать

Формула Грина

Криволинейные интегралы второго рода

Постановка задачи. Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

План решения. Криволинейный интеграл второго рода по кривой L определяется формулой

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

1.Вычисляем x'(t), y'(t) и z'(t).

2.Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записываем ответ.

Замечание:

Если граничные точки кривой L Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи
Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintзаданы в декартовых координатах, то Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintопределяем, решая системы уравнений

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Замечание:

Если кривая задана как линия пересечения двух
поверхностей:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

то ее необходимо параметризовать.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

по части кривой L, заданной параметрически

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Решение:

1.Вычисляем: x'(t) = — 2sin t, y'(t) = 2cos t и Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Ответ. Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

от точки М(2,0, 4) до точки N(—2,0,4) Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintпо кривой L, образованной пересечением параболоида Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи плоскости z = 4,

Решение:

В сечении получается окружность

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют вид

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

1.Вычисляем: х'(t) = -2sin t, у'(t) = 2cos t и z'(t) = 0.

Определяем Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintиз условий

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Учитывая, что Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintполучаем Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2.Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Ответ. Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Видео:Криволинейный интеграл 2 рода.Тригонометрическая заменаСкачать

Криволинейный интеграл 2 рода.Тригонометрическая замена

Дополнение к криволинейному интегралу

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Видео:Криволинейный интеграл 2-го рода.Работа.ВидеоСкачать

Криволинейный интеграл 2-го рода.Работа.Видео

Решение криволинейных интегралов

Кривая АВ, заданная параметрическими уравнениями

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

называется гладкой, если функции φ(t) и ψ(t) имеют на отрезке [tо, t1] непрерывные производные φ'(t) и ψ'(t), причем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Если в конечном числе точек отрезка [tо, t1] эти производные не существуют или одновременно обращаются в нуль, то кривая называется кусочно-гладкой.

Пусть АВ — плоская кривая, гладкая или кусочно-гладкая. Пусть f(M) — функция, заданная на кривой АВ или в некоторой области D, содержащей эту кривую. Рассмотрим разбиение кривой АВ на части точками

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Выберем на каждой из дуг AkAk+1 произвольную точку Мk и составим сумму

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где ∆lk — длина дуги AkAk+1 и назовем ее интегральной суммой для функции f(M) по длине дуги кривой. Пусть ∆l — наибольшая из длин частичных дуг, т.е.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Определение:

Если при ∆l —► 0 интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек на каждой из дуг разбиения, то этот предел называется криволинейным интегралом 1 -го рода от функции f(M) по кривой АВ (интеграл по длине дуги кривой) и обозначается символом

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

(точка М(х, у) лежит на кривой АВ).
В этом случае функция f(M) называется интегрируемой вдоль кривой АВ, кривая АВ называется контуром интегрирования, А — начальной, В — конечной точками интегрирования. Таким образом, по определению,
(2)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Пусть вдоль некоторой гладкой кривой L распределена масса с переменной линейной плотностью f(M). Найти массу т кривой L.

Разобьем кривую L на п произвольных частей MkMk+1 (k = 0,1,… , n —1) и вычислим приближенно массу каждой части, предполагая, что на каждой из частей MkMk+1 плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из ее точек, например, в крайней левой точке f(Mk). Тогда сумма

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где ∆lk — длина k-ой части, будет приближенным значением массы т. Ясно, что погрешность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой L. В пределе при ∆l → 0 (Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint) получим точное значение массы всей кривой L, т.е.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Но предел справа есть криволинейный интеграл 1-го рода. Значит,

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Существование криволинейного интеграла 1-го рода

Примем на кривой АВ за параметр длину дуги I, отсчитываемую от начальной точки А (рис. 2). Тогда кривую АВ можно описать уравнениями
(3)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — длина кривой АВ.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Уравнения (3) называются натуральными уравнениями кривой АВ. При переходе к натуральным уравнениям функция f(x, у), заданная на кривой АВ, сведется к функции переменной l: f(x(l), y(l). Обозначив через lk (k = 0, 1,…, п — 1) значение параметра l, отвечающее точке Мk, перепишем интегральную сумму (1) в виде

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Это — интегральная сумма, отвечающая определенному интегралу

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Поскольку интегральные суммы (1) и (4) равны между собой, то равны и отвечающие им интегралы. Таким образом,
(5)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Теорема:

Если функция f(M) непрерывна вдоль гладкой кривой АВ, то существует криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

(поскольку при этих условиях существует определенный интеграл, стоящий в равенстве (5) справа ).

Свойства криволинейных интегралов 1-го рода

1, Из вида интегральной суммы (1) следует, что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

т.е. величина криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от направления интегрирования.

2. Линейность. Если для каждой из функций f(M) и д(М) существует криволинейный интеграл по кривой АВ, то для функции af(M) + βg<М), где а и β — любые постоянные, также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

3. Аддитивность. Если кривая АВ состоит из двух кусков АС и С В и для функции f(М) существует криволинейный интеграл по AВ, то существуют интегралы

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

4. Если f(M) ≥ 0 на кривой AB, то

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

5. Если функция f(M) интегрируема на кривой АВ, то функция |f(М)| также интегрируема на АВ, и при этом

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

6. Формула среднего значения. Если функция f(M) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка Мс такая, что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — длина кривой AB.

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

причем точке А соответствует значение t = t0, а точке В — значение t = t1. Будем предполагать, что функции φ(t) и ψ(t) непрерывны на [to, t1] вместе со своими производными φ'(t) и ψ'(t) и выполнено неравенство

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Тогда дифференциал дуги кривой вычисляется по формуле

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

В частности, если кривая АВ задана явным уравнением

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

причем функция g(х) непрерывно дифференцируема на [а, b] и точке А соответствует значение х = а, а точке В — значение х = b, то, принимая х за параметр, получаем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Криволинейные интегралы 1-го рода для пространственных кривых

Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай, когда функция f(M) задана вдоль некоторой пространственной кривой АВ.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Тогда криволинейный интеграл 1-го рода от функции f, взятый вдоль этой кривой, можно свести к определенному интегралу при помоши следующей формулы:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где L — контур треугольника с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(0, I) (рис. 3).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

По свойству аддитивности имеем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислим каждый из интегралов в отдельности. Так как на отрезке OA имеем: 0 ≤ x ≤ 1, у = 0 и dl = dx, то

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

На отрезке АВ имеем х + у = 1, откуда у = 1 — х, т.е.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

причем 0 ≤ х ≤ 1, тогда

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Замечание:

При вычислении интегралов

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

мы воспользовались свойством 1, согласно которому

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Криволинейные интегралы 2-го рода

Пусть АВ — гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая на плоскости хОу и пусть

F(M) = Р(М) i + Q(M) j

— вектор-функция, определенная в некоторой области D, содержащей кривую АВ. Разобьем кривую АВ на части точками

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

координаты которых обозначим соответственно через

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

На каждой из элементарных дуг АkАk+1, возьмем произвольно точку Мk(ξk, ηk) и составим сумму

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пусть ∆l — длина наибольшей из дуг АkАk+1.

Определение:

Если при ∆l → 0 сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ. ни от выбора точек (ξk, ηk) на элементарных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода от вектор-функции F(M) по кривой АВ и обозначается символом

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Так что по определению (2)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Теорема:

Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции Р(х,у) и Q(х, у) непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

r(М) = xi + yj

— радиус-вектор точки М(х, у). Тогда

dr = i dx + j dy,

и подынтегральное выражение

Р(х, у) dx + Q(x, у) dy

в формуле (2) можно представить в виде скалярного произведения векторов F(Af) и dr. Так что интеграл 2-го рода от вектор-функции

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

по кривой АВ можно записать коротко так:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями,

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где функции φ(t) и ψ(t) непрерывны вместе с производными φ'(t), ψ'(t) на отрезке [to, t1] причем изменению параметра t от to до t1 соответствует движение точки М(х, у) по кривой АВ от точки А к точке В.

Если в некоторой области D, содержащей кривую АВ, функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны, то криволинейный интеграл 2-го рода

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

сводится к следующему определенному интегралу:
(3)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 2-го рода также может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

1) вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки A(0,0) и В<1, 1);

2) вдоль параболы у = х , соединяющей те же точки (рис.5).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

1) Уравнение линии АВ: у = х (х — параметр, 0 ≤ х ≤ 1), откуда dy = dx. Так что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2) Уравнение линии AB:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

dy = 2х dx,

x dy = 2x 2 dx

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Рассмотренный пример помазывает, что величина криволинейного интеграла 2-го рода, вообще говоря, зависит от формы пути интегрирования.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Линейность. Если существуют криволинейные интегралы

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

то при любых действительных а и β существует и интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

2. Аддитивность. Если кривая АВ разбита на части АС и С В и криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

существует, то существуют интегралы

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Криволинейный интеграл второго рода (в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода) зависит от того, в каком направлении (от A к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления движения по кривой, т. е.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Замечание:

Последнее свойство cotrmrrayer физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода как работы силового паля F вдоль некоторого путь: при изменении направления движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный.

Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где ориентированная кривая АВ (А — начальная точка, В — конечная точка) задана векторным уравнением

r = r(l)

(здесь l — длина кривой, отсчитываемая в том направлении, в котором ориентирована кривая АВ) (рис. 6).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где т = т(l) — единичный вектор касательной к кривой АВ в точке М(l). Тогда

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Заметим, что последний интеграл в этой формуле — криволинейный интеграл 1-го рода. При изменении ориентации кривой АВ единичный вектор касательной т заменяется на противоположный вектор (—т), что влечет изменение знака его подынтегрального выражения и, значит, знака самого интеграла.

Формула Грина

Выведем формулу Грина, связывающую криволинейный интеграл

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

по границе L некоторой плоской области D с двойным интегралом по этой области.

Теорема:

Если в замкнутой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром L, функции Р(х, у) и Q<x, у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintи Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintто справедливо равенство (формула Грина):

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Здесь символ Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintозначает интегрирование по границе L области D, причем граница L проходится так, что область D остается слева (рис. 7).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Граница L плоской области D может состоять из одной или нескольких простых замкнутых кривых (компонент). В первом случае она называется односвязной, а во втором — многосвязной. Если граница L состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых Li, то кривые L, называются связными компонентами границы. На рис. 8 изображена трехсвязная область.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Односвязная область D (область «без дырок») обладает тем свойством, что любая лежащая в ней замкнутая кривая может быть стянута в точку Р ∈ D, оставаясь в процессе стягивания в области D.
Доказательство теоремы проведем для односвязной области.

В силу свойства линейности достаточно доказать, что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Докажем первую из этих формул.

Предположим сначала, что кривая L пересекается каждой прямой, параллельной оси Оу, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 9). Если каждая такая прямая пересекает кривую L не более чем в двух точках, то кривую L можно разбить на две части L1 и L2 (верхнюю и нижнюю), каждая из которых проектируется взаимно однозначно на некоторый отрезок [а, b] оси Ох. В силу аддитивности криволинейного интеграла имеем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

На каждой из кривых L1 и L2 возьмем в качестве параметра абсциссу х и запишем уравнения этих кривых соответственно в виде

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

По предположению производная Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintнепрерывна в D, и значит, в силу известной формулы интегрального исчисления, приращение функции можно записать через интеграл от производной этой функции:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Из формул (4) и (5) получаем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Повторный интеграл в правой части последнего соотношения равен двойному интегралу от функции Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintпо области D, так что окончательно имеем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Формула (2) доказана.

Соотношение (3) доказывается аналогично. Складывая почленно соотношения (2) и (3), получаем формулу Грина (1).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Отметим, что формула Грина имеет место и для более сложных контуров L, и для неодносвязных областей D. Рассмотрим, например, случай двухсвязной области (рис. 10). Сделаем разрез АВ этой области, превращающий ее в односвязную. Тогда

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Отсюда, учитывая, что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где интегрирование по кривой L1 ведется в направлении против движения часовой стрелки, а по кривой L2 — в направлении движения часовой стрелки. Отметим, что при этом кривые L1 и L2 проходятся так, что область D остается слева. Такое направление обхода контура принимается за положительное.

Площадь плоской области

Р(х, y) = -y и Q(x,y) = x.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

и по формуле Грина (1) получаем

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где S — площадь области D.

Отсюда получаем формулу для вычисления площади S плоской области D с помощью криволинейного интеграла по границе L этой области: (7)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом L:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Запишем уравнение эллипса в параметрической форме

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Искомая площадь находится no формуле (7), где криволинейный интеграл берется по эллипсу при обходе контура в положительном направлении, что соответствует изменен ию параметра t от 0 до 2 π. Так как

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

то отсюда получаем, что

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Замечание:

Пусть в пространстве задана ориентированная кусочно-гладкая кривая АВ и пусть, кроме того, в некоторой области Ω, содержащей кривую А В, задана вектор-функция

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где Р, Q, R — непрерывные в Ω функции. Аналогично плоскому случаю криволинейный интеграл от вектор-функции F по ориентированной кривой АВ определим выражением

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Это — криволинейный интеграл 2-го рода в пространстве.

Приложения криволинейных интегралов

Масса кривой

В примере 1 из § 1 было показано, что масса кривой L вычисляется с помощью интеграла 1-го рода

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где f(M) — переменная линейная плотность на кривой L. (Мы предполагаем, что f(М) — непрерывная функция на АВ.)

Площадь цилиндрической поверхности

Пусть в плоскости хОу задана некоторая спрямляемая (т. е. имеющая длину) кривая АВ и на этой кривой определена непрерывная функция f(М) ≥ 0. Тогда совокупность точек (х, y, f(x, у)), или (М, f(M)), составит некоторую кривую, лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая АВ является направляющей, а ее образующая параллельна оси Oz. Требуется определить площадь цилиндрической поверхности ABDC, ограниченной снизу кривой АВ, сверху — кривой z = f(M), где М ∈ АВ, и вертикальными прямыми АС и BD (рис. 11).

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Для решения этой задачи поступим так:

1) разобьем кривую АВ на п частей точками

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

так, как показано на рис. 11;

2) из каждой точки Мk проведем перпендикуляр к плоскости хОу высотой f(Mk) (при этом цилиндрическая поверхность ABDC разобьется на n полосок);

3) каждую полоску заменим прямоугольником с основанием ∆lk, где ∆lk — длина дуги МkМk+1, и высотой, равной значению функции f<M) в какой-нибудь точке этой дуги, например, в точке Мk.

Тогда площадь k-ой полоски будет приближенно равна f(Mk) ∆lk, а площадь всей поверхности ABDC

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче будут частичные дуги МkМk+1, на которые разбита кривая АВ. Пусть ∆l — наибольшая из длин ∆lk частичных дуг MkMk+1. Тогда при ∆l —> 0 в пределе получим точное значение искомой площади

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Предел справа по определению есть криволинейный интеграл первого рода от функции f(М) по кривой АВ. Итак, (2)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Вычислить площадь части боковой поверхности цилиндра

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

срезанного сверху поверхностью

ху = 2Rz.

Сведем задачу к вычислению криволинейного интеграла 1-го рода от функции

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

вдоль дуги окружности, расположенной в первой четверти. Будем иметь

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Параметрические уравнения линии АВ —

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Площадь плоской фигуры

Ранее мы установили, что площадь S плоской фигуры D, ограниченной линией L, вычисляется по формуле

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Правая часть есть криволинейный интеграл 2-го рода.

Работа силы:

Пусть в некоторой плоской области D, содержащей кривую АВ, задана сила

F(M) = P(M)i + Q(M)J, (4)

где функции Р(М) и Q(M), а следовательно, и F(M) предполагаются непрерывными функциями точки М. Требуется найти работу силы F, если под действием этой силы материальная точка М, имеющая единичную массу, переместилась из точки А в точку В по кривой АВ.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Для решения этой задачи разделим кривую АВ на п частей точками

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

(рис. 12), заменим каждую дугу Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintхордой MkMk+1 и, предполагая для простоты, что на участке Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sintкривой (а значит, и на хорде MkMk+1) сила Fk имеет постоянное значение, например, равное ее значению в точке Мk,

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

получим приближенное выражение работы силы на участке пути Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

где |Fk| — длина вектора Fk, |∆lk| — длина вектора ∆lk

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Из формулы (4) с учетом (5) получим

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Так как правая часть формулы (6) есть скалярное произведение векторов Fk и ∆lk, то, учитывая (7) и (8), будем иметь

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Суммируя по всем значениям k(k = 0,1,2,…, п — 1), получим величину

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

приближенно выражающую работу силы F(M) на всем пути от А до В.

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Предел этой суммы при ∆хk → 0 и ∆уk → 0 принимают за точное значение работы. Но с другой стороны, предел этой суммы есть криволинейный интеграл 2-го рода от вектор-функции F(M) по кривой АВ. Итак, работа силы вычисляется по формуле
(9)

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Пример:

Найти работу силы

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

при перемещении единичной массы по параболе

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

от точки A(1,0) до точки В(0,1) (рис. 13). 4 Применим формулу (9), положив в ней

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

то искомую работу можно вычислить так:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Обобщение на случай пространственной кривой(рис. 14),

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Если в некоторой пространственной области Ω, содержащей пространственную кривую АВ, задана сила

F(M) = Р(М)i + Q(M)j + R(M)k,

где Р(М), Q(M) и R(M) — непрерывные функции в области Ω, то работа, совершаемая силой F(М) по перемещению материальной точки М с единичной массой из точки А в точку В по пространственной кривой АВ, равна

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🌟 Видео

Криволинейный интеграл 2 рода (по координатам) | Решение задач 3.2 | ИнтФНПСкачать

Криволинейный интеграл 2 рода (по координатам) | Решение задач 3.2 | ИнтФНП

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)dsСкачать

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)ds

Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление.Скачать

Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление.

Вычисление криволинейных интеграловСкачать

Вычисление криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы II рода, циркуляцияСкачать

Криволинейные интегралы II рода, циркуляция

Криволинейный интегралСкачать

Криволинейный интеграл

Криволинейные интегралы. Примеры.Скачать

Криволинейные интегралы. Примеры.

Вычислить интеграл по заданному контуру. Интегрирование по части окружности и по отрезку прямой.Скачать

Вычислить интеграл по заданному контуру. Интегрирование по части окружности и по отрезку прямой.

Формула Остроградского - ГринаСкачать

Формула Остроградского - Грина
Поделиться или сохранить к себе:
Вычислить криволинейный интеграл где l окружность x 2cost y 2sint