В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания на окружности 45

Условие задачи

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка , причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что

а)Докажите, что угол между прямыми и равен .

б)Найдите объём цилиндра.

Решение

Прямые и параллельны, (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между и равен углу .

(опирается на диаметр).

Для выполняется равенство

6+6=12. Значит, — прямоугольный равнобедренный, .

Задание 14. ЕГЭ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.

Задание. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С₁, причем СС₁ – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 45 0 , AB = 3√2, CC₁ = 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AС₁ и BС равен 60 0 .

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми АС₁ и ВС равен 60 0 .

Проведем образующую ВВ₁, тогда ВВ₁С₁С – прямоугольник и ВС параллельна В₁С₁, поэтому угол между прямыми АС₁ и ВС равен углу между прямыми АС₁ и В₁С₁, т. е. равен углу ∠АС₁В₁.

Угол ∠АВС – вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр основания цилиндра, следовательно, ∠АВС = 90 0 и треугольник ΔАВС – прямоугольный треугольник.

Так как ВС ⊥ АВ и ВС ⊥ ВВ₁, тогда ВС ⊥ (АВВ₁).

т. е. треугольник ΔАВ₁С₁ – прямоугольный треугольник (∠АВ₁С₁ = 90 0 ).

Так как угол ∠АСВ = 45 0 , то треугольник ΔАВС – прямоугольный равнобедренный треугольник,

т. е. АВ = ВС = В₁С₁ = 3√2.

Так как ВВ₁ ⊥ (АВС), то треугольник ΔАВВ₁ – прямоугольный треугольник,

по теореме Пифагора найдем В₁С₁:

Подставим значения АВ₁ и В₁С₁ в формулу (1), получим

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной прямой.

Прямая АВ ⊥ ВС и АВ ⊥ ВВ₁, тогда АВ ⊥ (ВВ₁С₁) и АВ ⊥ ВС₁, т. е. треугольник ΔАВС₁ – прямоугольный треугольник (∠АВС₁ = 90 0 ).

Тогда расстоянием от точки В до прямой АС₁ является высота треугольника ΔАВС₁, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе АС₁, т. е. ВК.

Площадь треугольника ΔАВС₁ равна:

Площадь треугольника ΔАВС₁ можно найти другим способом:

Приравняем правые части этих формул:

AB = 3√2

Из прямоугольного ΔВB₁С₁ по теореме Пифагора найдем ВС₁:

ВС₁ = 3√6

Из прямоугольного ΔAВС₁ по теореме Пифагора найдем AС₁:

AС₁ = 6√2

Подставим значения АВ, ВС₁ и АС₁ в формулу (2), получим

Решение №1913 В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В …

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ – образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ = 6, ВВ₁ = 15, В₁С₁ = 8.