Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Середина отрезка. Координаты середины отрезка

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, .

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Видео:Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya ) и B( xb , yb ) на плоскости:

xc =xa + xbyc =ya + yb
22

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya , za ) и B( xb , yb , zb ) в пространстве:

xc =xa + xbyc =ya + ybzc =za + zb
222

Видео:Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

xc =xa + xb=-1 + 6=5= 2.5
222
yc =ya + yb=3 + 5=8= 4
222

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

xc =xa + xb=-1 + 6=5= 2.5
222
yc =ya + yb=3 + 5=8= 4
222
zc =za + zb=1 + (-3)=-2= -1
222

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Видео:Расстояние от точки до середины отрезкаСкачать

Расстояние от точки до середины отрезка

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Видео:Расстояние между точкамиСкачать

Расстояние между точками

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораКак найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Видео:Расстояние между точками, координаты середины отрезкаСкачать

Расстояние между точками, координаты середины отрезка

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Видео:Нахождение координаты середины отрезка.Скачать

Нахождение координаты середины отрезка.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Видео:Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

  1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .

Видео:Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Расстояние от точки до прямой (метод координат)

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора
Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Длина вектора Как найти расстояние от точки до середины отрезка векторав пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Произведение вектора на число:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Скалярное произведение векторов:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Косинус угла между векторами:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора. Для этого нужны их координаты.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Запишем координаты векторов:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

и найдем косинус угла между векторами Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Координаты вершины пирамиды: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Найдем координаты векторов Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

и угол между ними:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Запишем координаты точек:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Найдем координаты векторов Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора, а затем угол между ними:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать

Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

То есть A + C + D = 0.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораКак найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Аналогично для точки K:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Получили систему из трех уравнений:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Решив систему, получим:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Вектор Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораимеет вид:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Берем уравнение плоскости Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораКак найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Нормаль к плоскости AEF: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Найдем угол между плоскостями:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораили, еще проще, вектор Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Координаты вектора Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора— тоже:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Получим:
Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Ответ: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора— нормаль к плоскости α.

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Находим координаты вектора Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Ответ: Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора, AD = Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектораКак найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Решим эту систему. Выберем Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Тогда Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти расстояние от точки до середины отрезка вектора

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🎦 Видео

КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА Атанасян 425 стереометрияСкачать

КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА Атанасян 425 стереометрия

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатахСкачать

9 класс, 4 урок, Простейшие задачи в координатах

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

8 класс. Геометрия. Нахождение координат середины отрезка. 10.04.2020Скачать

8 класс. Геометрия. Нахождение координат середины отрезка. 10.04.2020

Деление отрезка в данном отношенииСкачать

Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Простейшие задачи в координатах. Координаты вершины, вектора, середины отрезка.Скачать

Простейшие задачи в координатах. Координаты вершины, вектора, середины отрезка.
Поделиться или сохранить к себе: