Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

Для определения координат пунктов В и Д в геодезическом четырехугольнике (рис. 2) измерено равноточно (р_i = 1) восемь углов между сторонами и диагоналями. Результаты измерений помещены в табл. 5.

Рис. 2. Геодезический четырехугольник

Определим число независимых условных уравнений.

Число необходимых измерений в линейно-угловой сети равно удвоенному числу вновь определяемых пунктов, t = 2 · 2 = 4. Число избыточных измерений

r = n — t = 8 — 4 = 4.

В геодезическом четырехугольнике имеют место четыре независимых условных уравнения, 3 — условных уравнения фигур и 1 — полюсное.

Составим условные уравнения связи.

Условное уравнение фигур: сумма углов плоского треугольника после уравнивания минус 180° равна нулю.

Обозначим β_i = i. Для трех треугольников, например, ΔАВС, ΔАДС, ΔАВД условные уравнения фигур будут иметь вид:

Полюсное условное уравнение: отношение сторон, сходящихся в одной точке (полюсе), после уравнивания равно единице. Если полюс — точка А, то

По теореме синусов, отношение сторон заменяют отношением синусов противолежащих углов:

Составим условные уравнения поправок.

Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Для перехода к условным уравнениям поправок следует вычислить невязки, которые равны суммам измеренных углов в треугольнике минус 180°.

Полюсное условное уравнение связи приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

.

.

Частная производная функции Ф₄ по аргументу β₅ (углу числителя):

Частная производная функции Ф₄ по аргументу β₆ (углу знаменателя):

Частная производная функции Ф₄ по аргументу β₈ (углу числителя и знаменателя):

С учетом размерности поправок и невязки полюсное условное уравнение поправок имеет вид:

Умножив на ρ″, получим

Определение коэффициентов Δ_i и невязки w″₄ полюсного условного уравнения выполним на ПК по программе Polus.exe. Исходной информацией к программе являются углы числителя и знаменателя полюсного условного уравнения (табл. 6).

Полюсное условное уравнение поправок принимает вид:

Составим весовую функцию.

— дирекционный угол стороны АВ, вычисленный по результатам уравнивания.

Итак, получена следующая система условных уравнений поправок:

(24)

Коэффициенты условных уравнений и функции

и весовая функция:

Коэффициенты условных уравнений и функции поместим в табл. 7.

Дальнейшее решение задачи выполните на ПК по программе KORREL.EXE. Таблицу коэффициентов условных уравнений вводите по столбцам.

Выпишите с экрана:

1. Значения поправок к результатам измерений в столбец ν табл. 7.

2. Среднюю квадратическую ошибку измерения — m.

3. Обратный вес 1/P_F и среднюю квадратическую ошибку функции — m_F.

Вычислите уравненные значения углов и сделайте контроль уравнивания.

Дата добавления: 2016-06-24 ; просмотров: 3718 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Коррелатный способ уравнивания

Приведенная выше система уравнений (14.8) имеет нелинейный вид. В математике не существует способов решения таких систем нелинейных уравнений. В связи с этим данную систему уравнений раскладывают в ряд Тейлора, ограничиваясь только первыми членами разложения с учетом того, что значения поправок у достаточно малы (на основании выдержанных при измерениях допусков по точности) , и вторые их степени будут весьма малыми, так что ими можно будет пренебречь. В результате уравнения (14.8) преобразуются к виду:

где i — номер измеренной величины (х); j — номер условного уравнения (или функции ф).

С учетом введенных обозначений получим:

В обозначениях гауссовых сумм:

Равенства (14.80) и (14.81) называются условными уравнениями поправок.

Следует иметь в виду, что формулы (14.79) не используются, если известно, что система уравнений (14.8) имеет линейный вид, т. е. коэффициенты a_(j известны.

Для решения задачи уравнивания способом Лагранжа необходимо составить следующую функцию:

где Xj — неопределенные множители Лагранжа.

Тогда функцию (14.82) можно записать со значениями коррелат:

Для определения поправок у, при которых функция (14.83) достигает минимума, найдем частные производные по аргументам у и приравняем их нулю:

Из полученной системы уравнений следует, что

где q,, = ——обратный вес измерения с индексом z.

Уравнения (14.85) и (14.86) называют коррелатными уравнениями поправок.

Число коррелат всегда равно числу условий. В результате образуется система коррелатных уравнений поправок у, содержащая п неизвестных поправок у и г неизвестных коррелат k_jt состоящая из п линейных уравнений.

Опуская промежуточные, хотя и важные преобразования (вывод можно посмотреть в соответствующей геодезической литературе), основанные на методе наименьших квадратов, приведем т. н. нормальные уравнения коррелат, в которых число неизвестных равно числу уравнений:

В уравнениях (14.87) неизвестными являются коррелаты k_t, а свободными членами — свободные члены уравнений поправок (14.80) и (14.81).

Как видно, при каждом параметре (неизвестном) k_i в уравнениях (14.87) стоит коэффициент в виде гауссовой суммы. Представим указанные коэффициенты в развернутом виде с помощью таблицы коэффициентов уравнений поправок (табл. 14.3).

Развернутый вид коэффициентов [qa_ia_i],[qa_la₂. [qa_ra_r, в которых индекс при коэффициентах а — это второй индекс коэффициентов условных уравнений поправок:

Матрица коэффициентов линейных уравнений

Рассмотрим подробнее принцип вычисления коэффициентов bjj при коррелатах kj в нормальных уравнениях коррелат.

1- е уравнение коррелат

Коэффициент при к_] равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов первой строки матрицы.

Коэффициент при к₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 2-й строк матрицы.

Далее производятся последовательные действия для всех остальных строк до последней строки. Так, коэффициент при к_г равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и г-й строк матрицы.

2- е уравнение коррелат

Коэффициент при к_] равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при к₂ равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 2-й строки матрицы.

Коэффициент при к₃ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 3-й строк матрицы и т. д. до последней строки.

Аналогично выполняются вычисления для остальных строк.

г-е уравнение коррелат

Коэффициент при к_< равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и 1-й строк матрицы.

Коэффициент при к₂ равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов г-й и 2-й строк матрицы и т. д.

Коэффициент при к_г равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов г-й строки матрицы.

Таким образом получают уравнения коррелат вида:

Можно заметить, что коэффициенты Ъ с обратными индексами равны между собой, т. е. Ь₁₂ = Ь₂₁, Ь₃₅ = Ь₅₃ит. п. Так называемые диагональные коэффициенты Ь_п представляют собой сумму произведений обратных весов и квадратов коэффициентов a j-й строки, т. е. они всегда положительные. Коэффициенты Ь с обратными индексами располагаются с разных сторон от диагональной строки. В связи с этим достаточно вычислить диагональные коэффициенты и все коэффициенты, стоящие справа от диагонали, а далее дополнить уравнения недостающими коэффициентами Ь, записав их такими же, как и коэффициенты с обратными им индексами.

Решение систем линейных уравнений (14.89) выполняется различными способами, рассмотренными в § 135, и другими способами, которые здесь не приведены, но все они, как можно было убедиться из приведенных примеров, весьма громоздкие и требуют значительных затрат времени. Единственным спасением может быть использование специальных программ расчетов на компьютере.

Полученные из решения уравнений (14.89) коррелаты ^используются для вычисления поправок у по формулам (14.85) или (14.86). После введения поправок в измеренные величины получают уравненные значения измеренных величин (14.7).

При оперировании численными значениями коэффициентов условных уравнений, коррелат, весов (обратных весов) и т. п. необходимо иметь в виду следующее:

• — значения весов и обратных им величин вычислять до 0,01 — 0,001 единиц;
• — значения коэффициентов а, Ь и коррелат it вычислять до 0,001 — 0,0001 единиц;
• — чаще всего невязки Wnpn обработке плановых построений выражают в дециметрах, в высотных сетях — в миллиметрах, угловые невязки и поправки выражают в секундах, десятых и сотых долях секунды.

Суммируя сказанное выше, приведем последовательность решения задачи уравнивания коррелатным способом.

Шаг 1. Для данного геодезического построения в системе л результатов х. имеющих веса р_г, определяют число к независимых и число г избыточных измерений.

Шаг 2. Составляют математические соотношения (условные уравнения) вида (14.5) с учетом следующих основных требований:

• — все условные уравнения должны быть независимыми, т. е. ни одно из них не должно быть следствием другого (других);
• — число уравнений должно быть равно числу избыточных измерений г;
• — условные уравнения должны иметь возможно простой вид. Шаг 3. Условные уравнения приводят к линейному виду, для чего

выполняют их дифференцирование и находят коэффициенты a_(j (14.79) как частные производные функций ф_; по аргументам х_г

Находят свободные члены Wj уравнений, т. е. невязки в полученных уравнениях после подстановки в них измеренных значений х_г Составляют таблицу (матрицу) коэффициентов a_i> и обратных весов д₍ (табл. 14.3).

Шаг 4. Находят коэффициенты Ь^( 14.88) нормальных уравнений коррелат (14.89) по алгоритму, изложенному выше, и решают полученную систему линейных уравнений.

После получения значений коррелат kj из решения уравнений обязательно необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения коррелат подставляют в исходные уравнения (14.89) и проверяют выполнение условия. Незначительные отступления от условия уравнения допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.

Шаг 5. Составляют, пользуясь табл. 14.3, условные уравнения поправок v, (14.80), (14.85) (или (14.86). Для значений поправок, например, получим:

Вычисляют поправки к измеренным величинам.

Шаг 6. Вычисляют уравненные значения х( (14.7).

Контроль уравнивания осуществляют подстановкой х/ в условные уравнения (14.9). При правильном решении задачи все условные уравнения должны иметь указанное решение. Допускаются незначительные отклонения от указанных условий, они возникают из-за округления результатов вычислений.

После выполнения контроля значения х( округляют с необходимой точностью и вычисляют искомые величины (координаты, высоты и т. п.).

Если условные уравнения изначально существенно нелинейны и при разложении в ряд Тейлора, вообще говоря, недостаточно ограничиваться первыми членами разложения, то условия (14.9) могут не выполниться. В этом случае производят второе приближение уравнивания, считая уравненные из первого приближения значения х! измеренными, а свободными членами W_j — остаточные невязки в уравнениях (14.9).

В § 137 рассмотрены примеры уравнивания различных геодезических построений коррелатным способом.

Уравнивание геодезического четырехугольника

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Апреля 2013 в 10:23, реферат

Краткое описание

Исходные данные: ХВ и YВ; ХD и YD.
В геодезическом четырехугольнике измерены восемь углов на четырех точках (рисунок 32). Углы нумеруются цифрами 1-8 по ходу часовой стрелки. Необходимо определить координаты пунктов А и С, а также дирекционные углы и длины сторон.

Вложенные файлы: 1 файл

Уравнивание геодезического четырехугольника.docx

Уравнивание геодезического четырехугольника

В геодезическом четырехугольнике измерены восемь углов на четырех точках (рисунок 32). Углы нумеруются цифрами 1-8 по ходу часовой стрелки. Необходимо определить координаты пунктов А и С, а также дирекционные углы и длины сторон.

1. В геодезическом четырехугольнике возникают следующие условия:

— сумма всех восьми углов в четырехугольнике должна быть равна 360°;

— геодезический четырехугольник рассматривается как центральная система с фиктивным полюсом – точкой О пересечения диагоналей;

— в фиктивных треугольниках АВО, DОС, ВСО и АОD должны существовать следующие условия суммы углов: 1+2 = 5+6; 3+4 = 7+8;

— все измеренные углы можно рассматривать как связующие углы треугольников центральной системы, следовательно, возникает полюсное условие.

условий фигур – 3;

условие полюса – 1.

2. Невязки за условия фигур вычисляются по формулам:

w₁ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 — 360°;

w₂ = 1 + 2 – 5 – 6; (209)

Допустимая невязка w_доп = 2,5 m_b Ön; (210)

Первичные поправки V¢ вычисляем по формулам:

Вычисление поправок контролируется: их сумма в четырехугольнике должна равняться невязке с обратным знаком.

3. За полюс принята точка пересечения диагоналей. Тогда условное уравнение полюса, как и в центральной системе, можно выразить формулой:

w_П = [ ( lg sin1 + lg sin3+ lg sin5 + lg sin7) –

– ( lg sin2 + lg sin4+ lg sin6 + lg sin8) ] 10 6 (212)

где b — это изменение логарифма синуса угла при изменении самого угла на одну секунду в шестом знаке логарифма.

Для вычисления вторичных поправок за условие полюса определяем коррелату К

Введением вторичных поправок заканчивается процесс уравнивания горизонтальных углов. После чего решением треугольников находят стороны, вычисляют дирекционные углы и приращения координат. Полученные невязки приращений распределяют пропорционально длинам сторон и вычисляют окончательные координаты пунктов.