О чем эта статья:
- Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
- Свойства касательной к окружности
- Задача
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 1
- Задача 2
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- Окружность
- Основные термины
- Касательная
- Свойства касательной
- Хорда
- Свойства хорд
- Свойства окружности
- Теорема о касательной и секущей
- Теорема о секущих
- Углы в окружности
- Свойства углов, связанных с окружностью
- Длины и площади
- Вписанные и описанные окружности
- Окружность и треугольник
- Окружность и четырехугольники
- 📺 Видео
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
Видео:Касательная и секущая к окружности.Скачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Окружность
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать
Основные термины
Касательная
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
- Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.
Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать
Свойства окружности
- Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
- Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
- Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.
Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с окружностью
- Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать
Длины и площади
- Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:
Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:
Видео:Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать
Вписанные и описанные окружности
Окружность и треугольник
- центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:
где S — площадь треугольника, а — полупериметр;
центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:
здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;
Окружность и четырехугольники
- около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
- около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
- в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
📺 Видео
Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать
Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать
Геометрия. Окружность, секущие и касательные.Скачать
8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Важна формула про секущую и касательную на ОГЭ и ЕГЭСкачать
Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать