Углы в четырехугольнике теоремы

Сумма углов четырехугольника
Содержание
  1. Свойства
  2. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  3. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  4. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Параллелограмм
  7. Параллелограмм и его свойства
  8. Признаки параллелограмма
  9. Прямоугольник
  10. Признак прямоугольника
  11. Ромб и квадрат
  12. Свойства ромба
  13. Трапеция
  14. Средняя линия треугольника
  15. Средняя линия трапеции
  16. Координаты середины отрезка
  17. Теорема Пифагора
  18. Справочный материал по четырёхугольнику
  19. Пример №1
  20. Признаки параллелограмма
  21. Пример №2 (признак параллелограмма).
  22. Прямоугольник
  23. Пример №3 (признак прямоугольника).
  24. Ромб. Квадрат
  25. Пример №4 (признак ромба)
  26. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Трапеция
  30. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  31. Центральные и вписанные углы
  32. Пример №8
  33. Вписанные и описанные четырёхугольники
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
  37. Вписанные четырёхугольники и их свойства
  38. Теорема Птолемея
  39. 🌟 Видео

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Углы в четырехугольнике теоремы
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Углы в четырехугольнике теоремы
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Углы в четырехугольнике теоремы

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Углы в четырехугольнике теоремы

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Углы в четырехугольнике теоремы

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Углы в четырехугольнике теоремы

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Углы в четырехугольнике теоремы

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Углы в четырехугольнике теоремыуглы Углы в четырехугольнике теоремыявляются внешними.

Углы в четырехугольнике теоремы

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Углы в четырехугольнике теоремыГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Углы в четырехугольнике теоремыУглы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Углы в четырехугольнике теоремыДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Углы в четырехугольнике теоремыУглы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Углы в четырехугольнике теоремы

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Углы в четырехугольнике теоремы

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Углы в четырехугольнике теоремыто параллелограмм Углы в четырехугольнике теоремыявляется ромбом.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство теоремы 1.

Дано: Углы в четырехугольнике теоремыромб.

Докажите, что Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство (словестное): По определению ромба Углы в четырехугольнике теоремыПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Углы в четырехугольнике теоремыравнобедренный. Медиана Углы в четырехугольнике теоремы(так как Углы в четырехугольнике теоремы), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Углы в четырехугольнике теоремыТак как Углы в четырехугольнике теоремыявляется прямым углом, то Углы в четырехугольнике теоремы. Аналогичным образом можно доказать, что Углы в четырехугольнике теоремы

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Углы в четырехугольнике теоремы

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Углы в четырехугольнике теоремы

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

План доказательства теоремы 2

Дано: Углы в четырехугольнике теоремыравнобедренная трапеция. Углы в четырехугольнике теоремы

Докажите: Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Углы в четырехугольнике теоремытогда Углы в четырехугольнике теоремыЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Углы в четырехугольнике теоремыпроведем параллельную прямую к прямой Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Углы в четырехугольнике теоремычерез точку Углы в четырехугольнике теоремы— середину стороны Углы в четырехугольнике теоремыпроведите прямую параллельную Углы в четырехугольнике теоремыКакая фигура получилась? Является ли Углы в четырехугольнике теоремытрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Углы в четырехугольнике теоремыМожно ли утверждать, что Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Пусть дан треугольник Углы в четырехугольнике теоремыи его средняя линия Углы в четырехугольнике теоремыПроведём через точку Углы в четырехугольнике теоремыпрямую параллельную стороне Углы в четырехугольнике теоремыПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Углы в четырехугольнике теоремыт.е. совпадает со средней линией Углы в четырехугольнике теоремыТ.е. средняя линия Углы в четырехугольнике теоремыпараллельна стороне Углы в четырехугольнике теоремыТеперь проведём среднюю линию Углы в четырехугольнике теоремыТ.к. Углы в четырехугольнике теоремыто четырёхугольник Углы в четырехугольнике теоремыявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Углы в четырехугольнике теоремыПо теореме Фалеса Углы в четырехугольнике теоремыТогда Углы в четырехугольнике теоремыТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство: Через точку Углы в четырехугольнике теоремыи точку Углы в четырехугольнике теоремысередину Углы в четырехугольнике теоремыпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Углы в четырехугольнике теоремычерез Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Углы в четырехугольнике теоремырадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Углы в четырехугольнике теоремыЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Углы в четырехугольнике теоремыи Углы в четырехугольнике теоремыи точка Углы в четырехугольнике теоремыкоторая является серединой отрезка Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремыто Углы в четырехугольнике теоремыа отсюда следует, что Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

2) По теореме Фалеса, если точка Углы в четырехугольнике теоремыявляется серединой отрезка Углы в четырехугольнике теоремыто на оси абсцисс точка Углы в четырехугольнике теоремыявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Углы в четырехугольнике теоремыи Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

3) Координаты середины отрезка Углы в четырехугольнике теоремыс концами Углы в четырехугольнике теоремыи Углы в четырехугольнике теоремыточки Углы в четырехугольнике теоремынаходятся так:

Углы в четырехугольнике теоремы

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Углы в четырехугольнике теоремыпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Углы в четырехугольнике теоремыкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Углы в четырехугольнике теоремы

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Углы в четырехугольнике теоремы

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Углы в четырехугольнике теоремыкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Углы в четырехугольнике теоремы

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Углы в четырехугольнике теоремы

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Углы в четырехугольнике теоремы

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Углы в четырехугольнике теоремыто, Углы в четырехугольнике теоремы— прямоугольный.

Углы в четырехугольнике теоремы

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Углы в четырехугольнике теоремыявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Углы в четырехугольнике теоремытакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Найдите углы четырёхугольника

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Углы в четырехугольнике теоремыУглы в четырехугольнике теоремы

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Углы в четырехугольнике теоремы

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Углы в четырехугольнике теоремы, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Углы в четырехугольнике теоремы

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Углы в четырехугольнике теоремы=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Углы в четырехугольнике теоремы+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Углы в четырехугольнике теоремы. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Углы в четырехугольнике теоремы. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Углы в четырехугольнике теоремы

Решение:

Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Углы в четырехугольнике теоремы(АВ CD, ВС-секущая), Углы в четырехугольнике теоремы(ВС || AD, CD — секущая), Углы в четырехугольнике теоремы(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Углы в четырехугольнике теоремыпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Углы в четырехугольнике теоремыкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Углы в четырехугольнике теоремы

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Углы в четырехугольнике теоремы

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Углы в четырехугольнике теоремыпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Углы в четырехугольнике теоремы Углы в четырехугольнике теоремыУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Углы в четырехугольнике теоремыпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Углы в четырехугольнике теоремыкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Углы в четырехугольнике теоремыНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Углы в четырехугольнике теоремы

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Углы в четырехугольнике теоремыпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Углы в четырехугольнике теоремыкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Углы в четырехугольнике теоремыНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Углы в четырехугольнике теоремы

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Углы в четырехугольнике теоремы

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Углы в четырехугольнике теоремыМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Углы в четырехугольнике теоремы. Углы в четырехугольнике теоремыпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Углы в четырехугольнике теоремы. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Углы в четырехугольнике теоремы. По свойству углов четырёхугольника, Углы в четырехугольнике теоремы

Следовательно, Углы в четырехугольнике теоремы: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Углы в четырехугольнике теоремы

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Углы в четырехугольнике теоремы

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Углы в четырехугольнике теоремы

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Углы в четырехугольнике теоремы. Углы в четырехугольнике теоремы

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Углы в четырехугольнике теоремы

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Углы в четырехугольнике теоремыпо двум сторонами и углу между ними.

Углы в четырехугольнике теоремы

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Углы в четырехугольнике теоремыпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Углы в четырехугольнике теоремы

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Углы в четырехугольнике теоремы

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Углы в четырехугольнике теоремы

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Углы в четырехугольнике теоремы

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Углы в четырехугольнике теоремы

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Углы в четырехугольнике теоремыи Углы в четырехугольнике теоремыПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Углы в четырехугольнике теоремыпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Углы в четырехугольнике теоремыПри помощи циркуля сравните длины отрезков Углы в четырехугольнике теоремыСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Проведём через точки Углы в четырехугольнике теоремыпрямые Углы в четырехугольнике теоремыпараллельные ВС. Углы в четырехугольнике теоремыпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Углы в четырехугольнике теоремыпо условию, Углы в четырехугольнике теоремыкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Углы в четырехугольнике теоремыи Углы в четырехугольнике теоремыкак противоположные стороны параллелограммов Углы в четырехугольнике теоремы

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Углы в четырехугольнике теоремы

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Углы в четырехугольнике теоремы

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Углы в четырехугольнике теоремыПроведём прямую Углы в четырехугольнике теоремы. Через точки Углы в четырехугольнике теоремыпроведём прямые, параллельные прямой Углы в четырехугольнике теоремы. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Углы в четырехугольнике теоремы, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Углы в четырехугольнике теоремы. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Углы в четырехугольнике теоремы. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Углы в четырехугольнике теоремы

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Углы в четырехугольнике теоремы

Поэтому Углы в четырехугольнике теоремы. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Углы в четырехугольнике теоремы

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРУглы в четырехугольнике теоремы, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Углы в четырехугольнике теоремы

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Углы в четырехугольнике теоремы

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Углы в четырехугольнике теоремы

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Углы в четырехугольнике теоремы= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Углы в четырехугольнике теоремыno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Углы в четырехугольнике теоремыкак вертикальные, Углы в четырехугольнике теоремывнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Углы в четырехугольнике теоремы

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Углы в четырехугольнике теоремыравнобедренный. Поэтому Углы в четырехугольнике теоремысоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Углы в четырехугольнике теоремы

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Углы в четырехугольнике теоремы

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Углы в четырехугольнике теоремыУглы в четырехугольнике теоремы

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Углы в четырехугольнике теоремы— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Углы в четырехугольнике теоремы. По свойству внешнего угла треугольника, Углы в четырехугольнике теоремыУглы в четырехугольнике теоремы— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Углы в четырехугольнике теоремыизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Углы в четырехугольнике теоремы

Из доказанного в первом случае следует, что Углы в четырехугольнике теоремыизмеряется половиной дуги AD, a Углы в четырехугольнике теоремы— половиной дуги DC. Поэтому Углы в четырехугольнике теоремыизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Углы в четырехугольнике теоремы

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Углы в четырехугольнике теоремыкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Углы в четырехугольнике теоремы, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Углы в четырехугольнике теоремы

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Углы в четырехугольнике теоремы(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Углы в четырехугольнике теоремы

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Углы в четырехугольнике теоремы

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Углы в четырехугольнике теоремы

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: Углы в четырехугольнике теоремы

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Углы в четырехугольнике теоремы

Тогда Углы в четырехугольнике теоремы

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Углы в четырехугольнике теоремы

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Углы в четырехугольнике теоремы

Докажем, что Углы в четырехугольнике теоремы. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Углы в четырехугольнике теоремы. По свойству равнобокой трапеции, Углы в четырехугольнике теоремы

Тогда Углы в четырехугольнике теоремыи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Углы в четырехугольнике теоремы

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Углы в четырехугольнике теоремы

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Углы в четырехугольнике теоремыцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Углы в четырехугольнике теоремывписанного в окружность. Действительно,

Углы в четырехугольнике теоремы

Следовательно, четырёхугольник Углы в четырехугольнике теоремы— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Углы в четырехугольнике теоремы

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Углы в четырехугольнике теоремы

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Углы в четырехугольнике теоремыВписанные четырехугольники и их свойства
Углы в четырехугольнике теоремыТеорема Птолемея

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Углы в четырехугольнике теоремы

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Углы в четырехугольнике теоремы

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Углы в четырехугольнике теоремы
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Углы в четырехугольнике теоремы

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаУглы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаУглы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииУглы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаУглы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникУглы в четырехугольнике теоремы

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Углы в четырехугольнике теоремы
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Углы в четырехугольнике теоремы

Окружность, описанная около параллелограмма
Углы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Углы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Углы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Углы в четырехугольнике теоремыОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Углы в четырехугольнике теоремы
Окружность, описанная около параллелограмма
Углы в четырехугольнике теоремы

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаУглы в четырехугольнике теоремы

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииУглы в четырехугольнике теоремы

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаУглы в четырехугольнике теоремы

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникУглы в четырехугольнике теоремы

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Углы в четырехугольнике теоремы

Углы в четырехугольнике теоремы

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Углы в четырехугольнике теоремы

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Углы в четырехугольнике теоремы

Докажем, что справедливо равенство:

Углы в четырехугольнике теоремы

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Углы в четырехугольнике теоремы

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Углы в четырехугольнике теоремы

откуда вытекает равенство:

Углы в четырехугольнике теоремы(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

🌟 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Красивая задача про углы четырехугольникаСкачать

Красивая задача про углы четырехугольника

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Теорема о вертикальных углахСкачать

Теорема о вертикальных углах

Домашняя работа №8. Углы в четырехугольнике (один найти совсем просто)Скачать

Домашняя работа №8. Углы в четырехугольнике (один найти совсем просто)

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника (8 класс. Геометрия)Скачать

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника (8 класс. Геометрия)

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)Скачать

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: