Как найти длину окружности описанной около треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Окружность описанная около треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .

(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Длина окружности

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Как найти длину окружности

Формула

Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на $pi approx 3,1415926535 dots$, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа $pi$.

То есть нужно воспользоваться одной из формул:

$l=2 pi r text l=pi d$

Здесь $r$ — это радиус заданной окружности, а $d$ — диаметр, $pi approx 3,1415926535 dots$. Радиусом окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой окружности. Диаметром называют отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Число $pi$ — математическая константа , выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Примеры вычисления длины окружности

Задание. Найти длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

Решение. Для вычисления длины заданной окружности воспользуемся формулой

Подставляя в неё исходные данные, получим:

$l=3 pi approx 3.14 cdot 3=9.42$ (см)

Ответ. $l=3 pi approx 9.42$ (см)

Задание. Найти длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороною $a=4 sqrt$ дм.

Решение. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $R=frac<sqrt>$. В нашем случае он будет равен

Для нахождения длины рассматриваемой окружности воспользуемся формулой

Подставляя в нее найденное значение радиуса и значение $pi approx 3.14 ldots$, окончательно получим

$l=2 cdot pi cdot 4 approx 8 cdot 3,14=25,12$ (дм)

Ответ. $l=8 pi approx 25,12$ (дм)

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Площадь круга (S) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину его радиуса (R), возведенную в квадратную степень (S = ПR²). Из указанного равенства можно выразить радиус:

Если избавиться от квадратной степени, то получится:

Длина окружности (L) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину радиуса, и последующего умножения на два полученного в результате числа:

Если R = √(S/П), то L = 2П*√(S/П)

Длина окружности (L) представляет собой число, которое получено в результате умножения числа Пи на диаметр данной окружности:

В конкретном случае:

L = 3,14*2 = 6,28 см.

Ответ: Длина окружности с диаметром 2 см составляет 6,28 см.

Известно, что длина окружности (L) рассчитывается путем умножения на два произведения числа Пи и длины ее радиуса (R). Формула выглядит так:

Из данной формулы можно выразить радиус

R = 12пи/2пи = 6 см

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6 см.

Теперь можно вычислить сторону квадрата, вокруг которого описана данная окружность. Ее длина составляет R корней из 2:

а = 6 корней из 2.

Рассчитываем длину малого радиуса (r), который равен половине длины стороны квадрата:

r = а/2 = 6 корней из 2/2 = 3 корней из 2.

Длина окружности, вписанной в квадрат, рассчитывается по той же формуле:

L = 6 корней из 2 Пи.

Радиус окружности, равный 30 см, обозначается как R.

Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на квадрат длины ее радиуса:

Подставим в формулу известные величины:

S = π*30² = 900π см. кв.

Длина окружности обозначается как С и рассчитывается путем умножения на 2 произведения числа Пи и ее радиуса:

Снова подставляем в формулу величины, которые известны:

C = 2π*30 = 60π см

Ответ: Площадь окружности равна 900π см², а ее длина составляет 60π см.

По условию задачи известно, что треугольник является правильным, что означает равенство всех его трех сторон. В данном случае его площадь может быть рассчитана по следующей формуле:

Зная площадь, мы получаем возможность вычислить длину стороны а. Она будет равна ± √48. Учитывая то, что сторона не может быть отрицательной величиной, можно говорить о том, что сторона а равна √48.

После того как длина стороны стала известна, можно приступить к вычислению площади описанной и вписанной окружности. Для этого не достает еще одного элемента – длины радиуса.

Радиус описанной окружности (R) равен длине стороны треугольника, разделенной на √3:

Радиус вписанной окружности (r) можно получить, разделив на 2 радиус описанной окружности:

Вычисленные длины радиусов вписанной и описанной окружностей позволяют определить ее длину ℓ, которая равна произведению числа Пи и радиуса окружности, умноженному на 2:

В нашем случае длина описанной окружности рассчитывается как:

Длина вписанной окружности будет составлять:

В условии задачи говорится о том, что радиус окружности R равен 12 см. Ее длина может быть вычислена посредством умножения на 2 произведения длины радиуса и числа Пи:

Известно, что число Пи – это константа, равная 3,14. Тогда длина окружности (С)высчитывается следующим образом:

Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на длину ее радиуса, возведенную в квадратную степень:

S=πR²=3,14*12²=3,14*144=452,16 см кв.

По условию задачи длина окружности равна 20 Пи см. Зная формулу, по которой вычисляется длина окружности, можно записать следующее равенство:

Можно сократить Пи в обеих частях записанного равенства, в результате чего получится, что:

Теперь высчитаем, чему равна длина радиуса окружности:

Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2:

D = R*2 = 10*2 = 20 cм.

Полная градусная мера любой окружности равна 360 градусов. В случае, описанном в задании, градусная мера окружности составляет 120 градусов, что равно 1/3 части 360 градусов. Это позволяет сделать вывод о том, что длина окружности (L) может быть рассчитана следующим образом:

L = 6Пи * 3 = 18Пи

Формула, по которой вычисляется длина окружности, выглядит так:

Из данной формулы можно выразить радиус (R):

В заданном случае длина радиуса будет равна:

Обозначим прежнюю длину окружности как L, а новую – как L₁. Тогда можно записать следующее равенство:

Прежний радиус окружности примем за R, а новый ее радиус, который получится в результате увеличения длины, обозначим как R₁. Для того чтобы вычислить ее значение, следует сначала записать формулу, по которой вычисляется прежняя длина данной окружности:

Тогда формула для вычисления новой длины окружности будет иметь такой вид:

Отнимем от новой длины старую, и в итоге получим:

2πR₁ — 2πR = 9,42 см.

Перенесем 2Пи из левой части равенства в правую:

R₁ — R = 9,42 : 2π = 1,5 см.

Ответ: В результате увеличения длины окружности на 9,42 см ее радиус станет больше на 1,5 см.

Радиус окружности, которая вписана в правильный треугольник, обозначим r. Ее площадь (S) является произведением числа Пи и квадрата ее радиуса:

В случае треугольника, все стороны которого одинаковы, радиус вписанной в него окружности равен третьей части высоты, являющейся также и медианой.

Площадь правильного треугольника рассчитывается так:

Sтр = (1/2)*(2r/tg30)*3r = (1/2)*(2r√3)*3r = 3√3r².

Согласно условию задачи 3√3r² = πr² + 27√3 — 9π.

Перенесем πr² из левой части равенства в правую, изменив его знак на противоположный:

3√3r² — πr² = 27√3 — 9π

Вынесем в правой части равенства r² за скобки. То же самое сделаем с числом 9 в левой части равенства:

Сокращаем в обеих частях одинаковый множитель (3√3 — π) и получаем:

Таким образом, радиус окружности равен корню квадратному из 9:

Обозначим радиус второй окружности буквой х. В данном случае радиус первой окружности нужно обозначить как 5х. Известно, что разница между длинами диаметров двух окружностей равна 240 мм. На основании этого можно составить следующее равенство:

5х-х=240:2, что равно 4х=120

Теперь можно найти значение х:

Таким образом, радиус второй окружности равен 30 мм. Это позволяет вычислить радиус первой окружности, который в 5 раз больше радиуса второй из них:

Длина дуги обозначена как L. В качестве обозначения ее градусной меры используется α. Через R обозначена длина радиуса данной окружности. Формула расчета длины дуги выглядит так:

Это же равенство может быть переписано следующим образом:

Отсюда выведем радиус:

Длина окружности (L) равна произведению числа Пи и радиуса, которое умножено на 2:

Согласно заданию, длина дуги равна 3,14, что равно значению константы Пи.

Дуга способна поместиться в длине окружности 2 пи r/пи =2 r раз

Подставив в равенство значения, которые известны, мы получим:

Длина окружности будет равна:

Сократим 2Пи в каждой из частей равенства и получим, что:

Для решения поставленной задачи следует записать формулу расчета площади круга:

Эта величина указана в задании, и составляет 169Пи. Это значит, что:

Можно сократить одинаковый множитель Пи в обеих частях равенства:

Длина окружности обозначена С. Она считается по следующей формуле:

Длина радиуса уже известна, и ее можно подставить в формулу расчета длины окружности:

С = 2* π*13 = 26π см.

Известно, что площадь круга представляет собой величину, равную длине стороны этого квадрата, возведенной во вторую степень Sкв = а². Это значит, что в данном случае а² = 36 дм. Для того чтобы найти значение а, нужно извлечь квадратный корень из 36:

Длина диагонали (d) квадрата считается по приведенной ниже формуле:

Радиус (R)окружности, которая описана около квадрата, равен половине длины ее диагонали:

Площадь круга можно посчитать, умножив число Пи на квадрат его радиуса:

S = πR² = π · (3√2)² = 18π дм. кв.

Длина окружности рассчитывается посредством умножения на два числа Пи, после чего полученное число умножается на длину радиуса окружности:

C = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π дм.

Ниже записана формула, которая используется для того, чтобы рассчитать длину окружности:

где Пи – это константа, равная 3,14, а d – это диаметр окружности.

Отношение длины первой окружности к длине второй окружности равно отношению их диаметров:

В условии сказано, что длина первой окружности С = 3,5 дм. Таким образом:

C1 = 5/7 *C = 5/7 * 3,5 = 2,5 дм.

Для того чтобы узнать длину окружности (C), следует воспользоваться формулой, предназначенной для ее расчета. Она выглядит так:

Если подставить в эту формулу величины, которые даны по условию задачи, то получим:

Ответ: Длина окружности равна 88 см.

Длина окружности равна длине ее половины, умноженной на 2. Это значит, что в данном случае нужно умножить число 25,5, обозначающее половину длины окружности, на 2:

Для вычисления длины окружности необходимо число Пи умножить на два и умножить на длину его радиуса (2πR). Для данной задачи это будет выглядеть следующим образом:

Для того чтобы посчитать площадь круга, необходимо умножить число Пи на радиус, взятый в квадрат (S = πR²). По условию задачи площадь круга равна Пи м кв. Это значит, что:

Из данного равенства можно выразить R

Зная длину радиуса, можно переходить к вычислению длины окружности (С):

C = 2πR = 2π x 1 = 2π

Ответ: Длина окружности равна 2π.

С целью вычисления длины окружности (С) используется приведенная ниже формула:

Ее составляющими является постоянное число Пи и радиус окружности (R), длину которой необходимо вычислить.

Если длина диаметра окружности является известной величиной, то его нужно умножить на постоянное число Пи, равное 3,14, для того чтобы найти длину этой окружности. Формула выглядит так:

В условии говорится, что диаметр окружности равен 15 см:

С = 3,14 * 15 = 47,1 cм.

Ответ: Длина окружности равна 47,1 см.

Для расчета длины окружности (С) нужно знать длину ее радиуса (R) или диаметра (d). Тогда могут быть использованы следующие формулы:

C = 2πR или C = πd

По условию задания d = 10 см, а π = 22/7. Тогда длина окружности будет равна:

C = πd = (22/7) * 10 = 220/7 ≈ 31,4 см.

В случае, если длина диаметра (d) или длина радиуса (R) окружности известны, то эти величины можно использовать для нахождения длины окружности. При этом следует воспользоваться одной из формул:

Эти величины также помогут вычислить площадь круга. Формулы выглядят следующим образом:

Нужно записать формулу расчета длины окружности, для того чтобы понять, существует ли взаимосвязь между этой величиной и диаметром окружности:

Очевидно, что длина окружности является результатом умножения числа Пи на длину ее диаметра.

Если длина окружности известна, то ее можно использовать для определения диаметра (d). Это можно сделать следующим образом:

Длину окружности (С) можно рассчитать через диаметр (d), если воспользоваться нижеприведенной формулой:

Это формула демонстрирует, что длина окружности больше длины ее диаметра в π раз. Именно отношение длины окружности к величине ее диаметра и является числом π.

Число π представляет собой константу, которая получается в результате деления длины окружности (С) на ее диаметр (d). В виде формулы это выглядит так:

Располагая информацией о том, что площадь круга равна произведению числа Пи и квадрата ее радиуса (S=πr²), можно через нее выразить радиус:

Избавляемся от квадратной степени:

Следующим шагом в решении задачи станет вычисление длины окружности, которая находится путем умножения на 2 числа Пи и радиуса окружности:

С=2πr= C=2π√(185/π) = 2√(185π) см.

На последнем этапе находим 30%. Принимаем всю длину окружности за 100%:

Тогда х можно найти следующим образом:

х=(30*2√(185π))/100 = 0,6√(185π) см.

Существует две формулы, которые предназначены для расчета длины окружности (С). Они отличаются друг от друга тем, что элементом одной из них является радиус (r), а другой – диаметр (D):

Для того чтобы понять, во сколько раз длина окружности превышает длину ее диаметра, нужно произвести деление этих величин:

В результате получается число Пи, которое является постоянным и имеет значение примерно 3,14.

Формула расчета длины окружности (С) через диаметр (D) выглядит так:

Исходя из условий задания, это равенство может быть записано в следующем виде:

📹 Видео