Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Трапеция. Определение, виды, свойства
Содержание
  1. Определения
  2. Виды трапеций
  3. Свойства трапеции
  4. Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции
  5. Трапеция. Свойства трапеции
  6. Свойства трапеции
  7. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  8. Вписанная окружность
  9. Площадь
  10. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  11. Основные свойства трапеции
  12. Сторона трапеции
  13. Формулы определения длин сторон трапеции:
  14. Средняя линия трапеции
  15. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  16. Высота трапеции
  17. Формулы определения длины высоты трапеции:
  18. Диагонали трапеции
  19. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  20. Площадь трапеции
  21. Формулы определения площади трапеции:
  22. Периметр трапеции
  23. Формула определения периметра трапеции:
  24. Окружность описанная вокруг трапеции
  25. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  26. Окружность вписанная в трапецию
  27. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  28. Другие отрезки разносторонней трапеции
  29. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Видео:Всё о трапеции за 60 секундСкачать

Всё о трапеции за 60 секунд

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

На рисунке Рис.4 ( small MN ) является средней линией трапеции ( small ABCD, ) причем ( small AM=MD,;; BN=NC. )

Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что ( small MN || AB, ) ( small MN=frac12 (AB+CD). )

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 1 и 2 вертикальные , следовательно

( small angle 1=angle 2. )(2)

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

( small angle 3=angle 4. )(3)

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда ( small MN || AP ) ( или ( small MN || AB )) и ( small MN =frac 12 AP ). Но ( small AP=AB +BP=AB+CD ). Тогда ( small MN =frac 12 (AB+CD).)Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда ( small angle A+ angle D=180°.) Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

MP − является средней линией треугольника ADC, так как Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны, Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны. Тогда

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны(4)

QN − является средней линией треугольника BCD, так как Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны, Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТогда

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны(5)

Из Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныследует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныследует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны.
Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны.

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны,
Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны.Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда ( small angle A=angle B. ) Докажем, далее, что ( small angle ADC=angle DCB. ) ( small angle A +angle ADC=180° ) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично ( small angle B +angle DCB=180°. ) Учитывая, что ( small angle A=angle B ), получим ( small angle ADC=angle DCB. ) Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, ( small angle ADC=angle DCB. ) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

3. Треугольники Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Отношение площадей этих треугольников есть Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

4. Треугольники Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныи Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны, то Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Видео:Трапеция - геометрия 8 классСкачать

Трапеция - геометрия 8 класс

Площадь

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныили Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныгде Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны– средняя линия

Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Трапецией называется четырехугольник у которого две стороны равныТрапецией называется четырехугольник у которого две стороны равны
Рис.1Рис.2

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 класс

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Трапеция. Решение задачСкачать

Трапеция. Решение задач

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Трапеция (что это такое, признаки и свойства) | ВидеоурокСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Трапеция (что это такое, признаки и свойства) | Видеоурок

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Трапеция, свойства, 8кл геометрия.Скачать

Трапеция, свойства, 8кл геометрия.

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:ТрапецияСкачать

Трапеция

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: