Задачи на центр тяжести треугольника

Краевое Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Нытвенский промышленно экономический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Дисциплина: Техническая механика

Практическая работа « Нахождение центра тяжести плоской фигуры»

Методическое пособие учебной дисциплины «Техническая механика» разработано на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по профессии 13.01.10 «Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям)»

Зам. директора по УМР

Краевое государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Нытвенский промышленно-экономический техникум»

Разработчик: , преподаватель высшей категории

Рекомендована цикловой методической комиссией,

протокол №___от «___»_____________2014 г.

Расчет координат центра тяжести плоской фигуры.

Способы определения координат центра тяжести

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

рис.1.9

Центры тяжести простейших фигур

рис.1.10

1 Центр тяжести треугольника

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

2 Центр тяжести дуги окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т. е. yC = 0.

3 Центр тяжести кругового сектора

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:

Решение задач на определение центра тяжести плоской фигуры рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. сложное сечение разбиваем на простые, положение центра тяжести которых известно, либо легко может быть определено;

2. выбираем произвольно координатные оси. Если плоская фигура имеет ось симметрии, то рекомендуется провести одну из координатных осей вдоль оси симметрии. Так как центр тяжести С сечения лежит на оси симметрии (т. е. на одной из координатных осей), то необходимо определить лишь одну координату;

3. определяем площади простых сечений;

4. определяем координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат. Координаты центров тяжести простейших фигур смотреть в конце данного раздела;

5. найденные значения подставляем в формулы:

где А1, А2 . АК — площади простых сечений,

y1, y2 … yК – координаты центра тяжести простых сечений;

6. значения XC, YC откладываем от выбранных осей координат с учетом знака, т. е. от точки О в положительном направлении координаты со знаком «плюс» и в отрицательном направлении координаты со знаком «минус».

Пример решения задачи на нахождение центра тяжести плоской фигуры

Рассчитать координаты центра тяжести заштрихованной части изображенной плоской фигуры (Рис. 2.1.) относительно выбранной системы координат. Размеры плоской фигуры даны в см.

1. Разбиваем сложное сечение на пять простых, и обозначим прямоугольник ABMGG номером 1; прямоугольник GLKFF — номером 2; прямоугольник FHDEE — номером 3; треугольник BCNN — номером 4 и треугольник DNCC — номером 5 .

2. Для сечения 1 A1 = 30* 15 = 450 см2 ; x1 = >15 см ; y1 = >42,5 см.

Задания для контроля знаний обучающихся

нахождение центра тяжести плоской фигуры

—

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Задачи на центр тяжести треугольника

Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

Ответ. 3:2.

Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

Методическая разработка урока «Замечательные точки треугольника (центр тяжести)»

Разделы: Математика

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Программа: «Школа 2000…».

Учебник: «Математика, 6 класс, часть 3».

Авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна.

Цели урока:

1. Дидактическая: ввести понятие замечательной точки треугольника – центра тяжести; способствовать выработке навыков построения центра тяжести.
2. Развивающая: способствовать развитию мыслительной деятельности учащихся, развитию математической речи; умение слушать другого и понимать его речь.
3. Воспитательная: воспитывать аккуратность выполнения заданий, формировать любознательность, пробуждать интерес ко всему, что нас окружает.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

Видео:Центр тяжести. ЭкспериментСкачать

Ход урока

I. Самоопределение к учебной деятельности.

Цели этапа:

1. включить учащихся в учебную деятельность;
2. определить содержательные рамки урока – продолжаем изучать геометрические фигуры.

Геометрические фигуры на плоскости и в пространстве.

Узнали, что такое треугольник, виды треугольников; научились строить биссектрису и медиану треугольника.

Прямоугольные, остроугольные, тупоугольные, равносторонние.

Наверное, нет.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цели этапа:

1. актуализировать учебное содержание необходимое и достаточное для изучения нового материала: работа с треугольником, его элементами;
2. актуализировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение.

Деятельность учителя

Предполагаемые ответы учащихся

Посмотрите на рисунок. Какие геометрические фигуры вы видите, назовите их. Вспомните, что такое биссектриса угла? (на доску вывешивается табличка с определением) Как ее можно построить? Сколько биссектрис в треугольнике можно провести? Что такое медиана треугольника? (на доску вывешивается табличка с определением) Как ее можно построить? Сколько медиан в треугольнике можно провести? Я вам предлагаю построить с помощью линейки и транспортира медианы и биссектрисы треугольника. У каждой группы лежат остроугольные, прямоугольные и равносторонние треугольники. С одной стороны треугольника постройте три медианы, а с другой – три биссектрисы (необходимые вычисления выполняйте в тетрадях).

Треугольник АВД. Медиана АЕ. Биссектриса ВК. Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам. С помощью транспортира измерить угол, поделить градусную меру пополам, провести луч. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. С помощью линейки построить середину стороны и полученную точку соединить с противоположной вершиной треугольника. (каждый учащийся строит медианы и биссектрисы своего треугольника)

III. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

1. организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
2. согласовать цель и тему урока.

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цели этапа:

1. организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2. зафиксировать новый способ действия.

V. Первичное закрепление.

Цель этапа:

1. зафиксировать изученное учебное содержание.

VI. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели этапа:

1. зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2. оценить собственную деятельность на уроке;
3. зафиксировать затруднения как направления будущей учебной деятельности;
4. обсудить и записать домашнее задание.

Деятельность учителя

Предполагаемые ответы учащихся

Что нового узнали на уроке? Любой треугольник имеет центр тяжести? Какие трудности испытывали во время выполнения работы? Где в жизни встречали сегодняшнее открытие? А есть еще замечательные точки у треугольника? Об этом мы узнаем на следующих уроках. Оцените свою деятельность на уроке по следующим критериям: зеленая карточка – «Я знаю, что такое центр тяжести и как его построить», красная карточка – «У меня еще не все получается». Запишите домашнее задание: §1, п. 4, стр. 96-98, кто поднял зеленую карточку – № 417; кто поднял красную карточку – № 419 (с разными видами треугольников). Все молодцы. Спасибо за урок. До свидания.

У треугольника есть замечательная точка – центр тяжести. Чтобы его найти, надо построить хотя бы две медианы. С помощью этой точки можно треугольник установить в равновесии на палочке. (выслушать ответы учащихся) (учащиеся называют примеры из жизни) 🌟 Видео Центры тяжести прямоугольных треугольниковСкачать Центр тяжестиСкачать 97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать Урок 80. Определение положения центра масс телаСкачать Центр тяжести трапецииСкачать Найдите центр тяжестиСкачать Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.Скачать Центр тяжести Решение задачСкачать Центр тяжести фигуры. Способ 1Скачать Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)Скачать Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать Как найти центр тяжести любой фигуры?Скачать Центр тяжести. Формула ГринаСкачать 6.1. Центр тяжести линииСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Площадь равнобедренного треугольника Площадь прямоугольного треугольника Плечо силы в треугольнике Плетение треугольника мозаичным плетением Плетение треугольника из лозы Плетение треугольника из веревки Плетение из газетных трубочек треугольник Плетение из бисера треугольник