Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника
КвадратТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

ТрапецияТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

math4school.ru

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:№128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямаяСкачать

№128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая

Четырёхугольники

Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

Основные определения и свойства

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Описанные четырёхугольники

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Вписанные четырёхугольники

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Площадь вписанного четырёхугольника:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Параллелограмм

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через диагонали ромба и сторону:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Площадь ромба можно определить:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через сторону и угол ромба:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:Описанный четырехугольникСкачать

Описанный четырехугольник

Прямоугольник

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОКСкачать

№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК

Квадрат

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Радиус вписанной окружности:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Трапеция

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через диагонали и угол между ними:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:вписанный и описанный четырехугольникСкачать

вписанный и описанный четырехугольник

Дельтоид

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольникаТочка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Ортодиагональные четырёхугольники

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

Видео:10 класс, 22 урок, Двугранный уголСкачать

10 класс, 22 урок, Двугранный угол

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

📺 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия. Признак описанного четырехугольника.Скачать

Геометрия. Признак описанного четырехугольника.

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольникаСкачать

Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольника

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать

Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольники

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данир
Поделиться или сохранить к себе: