Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, опирающихся на одну дугу (или на одну хорду), обладают полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Следствие из теоремы о вписанном угле.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду), равны.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Отсюда, любой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен половине центрального угла AOC (или половине дуги AC).

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Что и требовалось доказать.

Это свойство вписанных углов очень часто используется при решении задач. Позже мы рассмотрим несколько таких задач.

Видео:#Свойство углов вписанного четырехугольникаСкачать

#Свойство углов вписанного четырехугольника

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуВписанные четырехугольники и их свойства
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуТеорема Птолемея

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Окружность, описанная около параллелограмма
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугуОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу
Окружность, описанная около параллелограмма
Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникСвойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Докажем, что справедливо равенство:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

откуда вытекает равенство:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:ЕГЭ Задание 16 Признак вписанного четырехугольникаСкачать

ЕГЭ Задание 16 Признак вписанного четырехугольника

Центральные и вписанные углы

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

О чем эта статья:

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугуСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Свойство углов четырехугольника опирающихся на одну дугу

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

📽️ Видео

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Геометрия Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58, угол MPNСкачать

Геометрия Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58, угол MPN

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.Скачать

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Свойство вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство вписанного четырехугольника

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле
Поделиться или сохранить к себе: