Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Углы, связанные с окружностью
Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрВписанные и центральные углы
Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. ЗадачаСкачать

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Задача

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Вписанный уголПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 класс

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный касательной и секущейПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный двумя касательными к окружностиПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрПрямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Формула: Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Формула: Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

В этом случае справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

В этом случае справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Please wait.

Видео:Диаметр АВ окружности радиуса R. Окружность, диаметр, хорда и прямоугольный треугольник в задаче...Скачать

Диаметр АВ окружности радиуса R. Окружность, диаметр, хорда и прямоугольный треугольник в задаче...

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Прямоугольный треугольник вписанный в окружность | Теорема ПифагораСкачать

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность | Теорема Пифагора

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d449b8ef9184985 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!Скачать

ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрДано:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметрСледовательно, по теореме о вписанном угле,

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Что и требовалось доказать.

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

Прямоугольный треугольник в окружности опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

📽️ Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать

Прямоугольный треугольник Полное досье

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружностьСкачать

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметрСкачать

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле
Поделиться или сохранить к себе: