Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольник вписанный в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Содержание
  1. Определение
  2. Формулы
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник
  4. Радиус описанной окружности около треугольника
  5. Площадь треугольника
  6. Периметр треугольника
  7. Сторона треугольника
  8. Средняя линия треугольника
  9. Высота треугольника
  10. Свойства
  11. Доказательство
  12. Формулы для нахождения высоты треугольника
  13. Нахождение высоты треугольника
  14. Высота в разностороннем треугольнике
  15. Высота в равнобедренном треугольнике
  16. Высота в прямоугольном треугольнике
  17. Высота в равностороннем треугольнике
  18. Примеры задач
  19. Высота в вписанном треугольнике в окружность
  20. Треугольник вписанный в окружность
  21. Определение
  22. Формулы
  23. Радиус вписанной окружности в треугольник
  24. Радиус описанной окружности около треугольника
  25. Площадь треугольника
  26. Периметр треугольника
  27. Сторона треугольника
  28. Средняя линия треугольника
  29. Высота треугольника
  30. Свойства
  31. Доказательство
  32. Формулы для нахождения высоты треугольника
  33. Нахождение высоты треугольника
  34. Высота в разностороннем треугольнике
  35. Высота в равнобедренном треугольнике
  36. Высота в прямоугольном треугольнике
  37. Высота в равностороннем треугольнике
  38. Примеры задач
  39. math4school.ru
  40. Треугольники
  41. Основные свойства
  42. Равенство треугольников
  43. Подобие треугольников
  44. Медианы треугольника
  45. Биссектрисы треугольника
  46. Высоты треугольника
  47. Серединные перпендикуляры
  48. Окружность, вписанная в треугольник
  49. Окружность, описанная около треугольника
  50. Расположение центра описанной окружности
  51. Равнобедренный треугольник
  52. Равносторонний треугольник
  53. Прямоугольный треугольник
  54. Вневписанные окружности
  55. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

1. Через площадь и длину стороны

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота в прямоугольном треугольнике

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

2. Через стороны треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Высота в вписанном треугольнике в окружность

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Треугольник вписанный в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Задание 24 Площадь вписанного равнобедренного треугольникаСкачать

Задание 24 Площадь вписанного равнобедренного треугольника

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

1. Через площадь и длину стороны

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота в прямоугольном треугольнике

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

2. Через стороны треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторонаСкачать

№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

math4school.ru

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Треугольники

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

Основные свойства

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Равенство треугольников

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Подобие треугольников

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Медианы треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Биссектрисы треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Длина биссектрисы угла А :

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высоты треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Серединные перпендикуляры

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Окружность, описанная около треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Расположение центра описанной окружности

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружностьКак найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружностьКак найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружностьЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равнобедренный треугольник

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Равносторонний треугольник

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Прямоугольный треугольник

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

через катет и острый угол: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

через гипотенузу и острый угол: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Радиус вписанной окружности:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Вневписанные окружности

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rКак найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

для R – Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

для S – Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

для самих ra , rb , rсКак найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Как найти высоту в равнобедренном треугольнике вписанном в окружность

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Поделиться или сохранить к себе: