Разрежь прямоугольник двумя разрезами на три треугольника и четырехугольник

Задача: как разрезать треугольник двумя разрезами на три четырёхугольника и треугольник. Задача на смекалку — справится даже первоклассник, но если нужно обоснование решения, то тут придется порассуждать.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Решение задачи про треугольник

Для того, чтобы разрезать треугольник двумя разрезами на три четырехугольника и 1 треугольник нужно понять, что мы не можем разрезать треугольник лучами, исходящими из его вершин, потому что тогда для четырехугольников вершин будет недостаточно. Четырехугольники образованы двумя лучами, значит, каждые две стороны должны быть у них общими с соседними четырехугольниками. Таким образом общими будут 5 вершин. И три вершины — вершины треугольника. Всего получится 8 точек пересечения, одна из которых внутри треугольника, четыре на его сторонах и три — вершины треугольника. Таким образом, нарисовать такой способ разрезания треугольника двумя разрезами можно так:

Разрезать треугольник можно так

Или разрезать треугольник можно так

Или еще так можно разрезать треугольник

Главное, чтобы лучи не выходили из вершин, а давали нам дополнительные вершины для четыреухгольников. Для этого они должны пересекать стороны треугольника.

Любая из этих трех картинок — правильная. И можно нарисовать множество вариаций.

Видео:Как разрезать треугольник по двум прямым на три части, из которых можно сложить прямоугольник?Скачать

Разделить прямоугольник двумя отрезками на три треугольника четырьмя разными способами?

Математика | 1 — 4 классы

Разделить прямоугольник двумя отрезками на три треугольника четырьмя разными способами.

Я в пейнте сделала рисунки.

4 прямоугольника и их делила 2 отрезками, чтобы получилось по 3 треугольника.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Раздели квадрат со стороной 4см на 4 равные части четырьмя разными способами?

Раздели квадрат со стороной 4см на 4 равные части четырьмя разными способами.

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

Прямоугольник двумя отрезками разделить на 2 треугольника, 2 пятиугольника, 2 прямоугольника?

Прямоугольник двумя отрезками разделить на 2 треугольника, 2 пятиугольника, 2 прямоугольника.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Разделить прямоугольник двумя отрезками на три треугольника четырьмя разными способами?

Разделить прямоугольник двумя отрезками на три треугольника четырьмя разными способами.

Видео:ЕГЭ. Базовый уровень. Задача на смекалкуСкачать

Как разделить трапецию двумя отрезками на четыре треугольника?

Как разделить трапецию двумя отрезками на четыре треугольника.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Разделить квадрат со стороной 4 см на 4 равные части четырьмя разными способами?

Разделить квадрат со стороной 4 см на 4 равные части четырьмя разными способами.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

Раздели квадрат со стороной 4см на 4 равный части четырьмя разными способами?

Раздели квадрат со стороной 4см на 4 равный части четырьмя разными способами.

Видео:Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать

Разделите квадрат 4 * 4 см четырьмя разными способами на равные части?

Разделите квадрат 4 * 4 см четырьмя разными способами на равные части.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

В 2ух пятиугольниках проведи по 2 отрезка так чтобы ини разными способами разделили пятиугольник разделили на 3 треугольника?

В 2ух пятиугольниках проведи по 2 отрезка так чтобы ини разными способами разделили пятиугольник разделили на 3 треугольника.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Начерти прямоугольник , раздели его двумя отрезками так , чтобы получилось 8 треугольников?

Начерти прямоугольник , раздели его двумя отрезками так , чтобы получилось 8 треугольников.

Видео:Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

В каждом пятиугольнике проведи по 2 отрезка так, чтобы они разными способами разделили пятиугольник на 3 треугольника?

В каждом пятиугольнике проведи по 2 отрезка так, чтобы они разными способами разделили пятиугольник на 3 треугольника.

На этой странице находится вопрос Разделить прямоугольник двумя отрезками на три треугольника четырьмя разными способами?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 1 — 4 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

1) 12, 50 х 14 = 175 (руб. ) стоимость 14 рубашек 2) 175 / 5 = 35 (руб. ) стоимость пары туфель.

14 * 12, 50 = 175 манат стоимость 14 рубашек 175 / 5 = 35 манат стоимость 1 пары туфель Ответ : 35 манат.

3 m>n m + 4>n + 4 m — 7>n — 7 5m>5n — 3, 2m.

Видео:ВИНОВАТ ПОП ИТ и Симпл Димпл СПАСАЕМ Камиля от ПопЫтСкачать

Разрезания и складывания

Видео:🔴 Прямоугольник разбит на четыре меньших ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 20 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Задача

а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

Подсказка 1

б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.

в) Используйте теорему Пифагора.

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Подсказка 2

а) Проведите высоту или среднюю линию.

б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».

в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Решение

а) Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB, а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD. Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL. Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.

Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD. После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB, как того и требовалось в задаче.

Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA — тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN. Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.

б) Пусть дан прямоугольник ABCD, стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b. Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab. Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab, что меньше, чем AD, но больше, чем AB.

Построим квадрат APQR, равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP, а точка R — на отрезке AD. Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM, PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b) и RD = (a – √ab). Значит,

Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD, а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.

Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM, длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab, см. задачу «Правильные многоугольники» — врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R. Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.

Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD). То есть необходимо, чтобы

Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.

в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR, приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D. Будем считать, что PD = a и AB = b, причём, как мы уже отмечали, a > b. Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M, что MR = AB. По теореме Пифагора .

Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N. Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что . Таким образом, BMQN — квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2 ), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.

Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Послесловие

Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи—Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.

Теорема Бойяи—Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой — это мы умеем делать благодаря пункту в).

Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно — подобного разрезания просто не существует.

Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников — Максом Деном — уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.

🎦 Видео

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Сложи и разрежь! Онлайн-кружок журнала Квантик, занятие 21 (2013-2014 уч. год)Скачать