Доказательство третьего признака подобия треугольника (3 видео)

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что (Delta)ABС (sim) (Delta)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили (Delta)MBN, который подобен (Delta)ABC. Но (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если (Delta)MBN (sim) (Delta)AВС, то (Delta)А’В’С’ (sim) (Delta)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2 . Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ (frac = frac) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB /_MB = BC /_BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: (frac = frac). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как (Delta)MBN (sim) (Delta)А’В’С’, то, следовательно, и (Delta)А’В’С’ (sim) (Delta)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ (frac = frac = frac) (рис. 369).

Требуется доказать, что (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, (frac = frac = frac).

Докажем, что (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

(frac = frac) и (frac = frac).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: (frac = frac) и (frac = frac ) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны (Delta)BMN равны трём сторонам (Delta)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, (Delta)MBN = (Delta)А’В’С’, а (Delta)ABC (sim) (Delta)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Содержание

Третий признак подобия треугольников
Подобные треугольники
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
🔍 Видео

Видео:Геометрия 8 класс. Третий признак подобия треугольниковСкачать

Третий признак подобия треугольников

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

1) Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

2) Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Так как по условию

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.

Видео:Третий признак подобия треугольников. Доказательство. 8 класс.Скачать

Подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁:

Стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB	=	BC	=	AC	= k,
A₁B₁		B₁C₁		A₁C₁

k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком

: ABC

A₁B₁C₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S₁, то:

S	= k 2 .
S₁

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

то ABC

A₁B₁C₁.

Видео:63. Третий признак подобия треугольниковСкачать

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.