Разбиение на классы множества четырехугольников (5 видео)

Разбиение множества на классы

Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М (множество выпуклых многоугольников), образуем все подмножества данного множества: А1 — множество треугольников; А2 — множество четырехугольников; А3 — множество пятиугольников; Ак — множество к-угольников. Множество М считается разбитым на классы, если выполняются следующие условия:

1. каждое подмножество А не пусто
2. пересечения любых двух подмножеств является пустым множеством
3. объединение всех подмножеств есть данное множество М

Разбиение множества на классы называется классификацией.

Отношение на множестве Х называется эквивалентным, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. На графе такого отношения есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение — жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.

Содержание

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Примеры
Разбиение множества на классы
📸 Видео

Видео:Разбиение множества на классыСкачать

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы

Видео:95 Разбиение множества на классы эквивалентностиСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

продолжительность — 90 минут

Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы

расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;

способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение:

Карточки с заданиями самостоятельной работы

Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. — 4-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2014.

Тип и вид учебного занятия:

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

Содержание и виды деятельности преподавателя

1. Организационный этап

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.

2. Актуализация ЗУН

— Что такое множество? Что означает задать множество?

— Способы задания множеств

— Что такое подмножество?

-какие действия выполняем над множествами?

— Что такое пересечение? Объединение?

— Какие свойства пересечения, объединения?

Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(АВ)С; в) (А В)∩С

3. Изучение нового материала

— разбиение множеств на классы

4. Первичное закрепление

Практическое выполнение заданий

5. Информация о домашнем задании

Методические рекомендации для самостоятельной работы

6. Подведение итогов урока

Подведение итогов работы группы, отдельных студентов.

Корректирование пробелов знаний.

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А=<1, 2, 3> и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А=, B=. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аА, bВ. Получим некоторое новое множество , элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АВ. Таким образом АВ = <(x;y) | xA, yB>.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что АВ= . Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А=, B= <3, 5,6>.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству АВ, если
А= <a, b, c,d>, B=A. Декартово произведение АВ=<(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)>.

Количество пар в декартовом прoизведении АВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(АВ)=n(A)n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А, А,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А: АА…A.

Пусть даны множества А=; А=; A=. Декартово произведение ААА=< (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)>.

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

2. Множество четырехугольников разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества не получено.

3. Дано множество прямых в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

4. Дано множество , которое можно разделить на два класса: и , где – множество натуральных четных чисел, а – множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество разбито на три класса: , и . множество чисел, которые делятся на , – множество чисел, которые делятся на , множество чисел, которые делятся на . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на , и . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Решение. Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1,вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

Пример 2. Пусть на множестве Х= задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».

Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.

2) Декартово произведение двух множеств X  Y .

Пусть заданы два множества: X = , Y = .

Записать декартово произведение X  Y .

Декартово произведение двух множеств равно:

Аналогично можно найти декартово произведение трёх множеств: X  Y  Z .

Видео:Подмножество. Операции над множествами (пересечение, объединение множеств) – 8 класс алгебраСкачать

Разбиение множества на классы

Два множества, содержащих одинаковые элементы, называются пересекающимися. В этом случае говорят, что множества пересекаются.

Два множества, нс имеющих общих элементов, называются непересекающимися. В этом случае говорят, что множества не пересекаются.

Пример 6.3.1. Множества , нс псрссскаются.

Непересекающимися являются множество треугольников и множество параллелограммов.

Также нс псрссскаются множества решений уравнений * 3 =3* 2 и *+3=0. •

Пример 6.3.2. Пусть А — множество треугольников, площадь которых равна 6, В — множество прямоугольных треугольников.

А и В — пересекающиеся множества, так как существует треугольник, являющийся одновременно элементом множеств А и В, например треугольник со сторонами 3, 4, 5. Он прямоугольный и имеет площадь.

равную 6 (проверьте эти утверждения). Этот пример нс единственен. Приведите пример еще одного такого треугольника.

Пересекаются также множества решений уравнений х 2 +х=0 и х 2 -х=0, так как оба эти множества содержат число 0. •

Заметим, термины «множества пересекаются» и «множества не пересекаются» определены для двух множеств. Если множеств будет больше, то необходимы уточнения. Например, множества могут нс иметь ни одного общего элемента, но некоторые из множеств могут пересекаться.

Пример 6.3.3. Множества , и не пересекаются в совокупности, то есть нет ни одного элемента, который принадлежал бы каждому из множеств. Однако любая пара этих множеств имеет общий элемент. •

Пусть дана совокупность множеств. Говорят, что множества этой совокупности попарно не пересекаются, если никакие два (различных) множества совокупности нс псрссскаются.

Пример 6.3.4. Множества , , и попарно не пересекаются. •

Два множества могут находиться в следующих отношениях:

1) множества могут быть пересекающимися,
2) множества могут быть нспсрссскающимися,
3) множества могут быть связаны отношением включения.

Ясно, что первые два отношения исключают друг друга, то есть каждое из предложений «Множества псрссскаются» и «Множества нс псрссскаются» является отрицанием другого. Пересекающиеся множества, в частности, могут быть связаны отношением включения. На первый взгляд может показаться, что нспсрссскающисся множества не могут находиться в отношении включения. Это так, но только с некоторым исключением.

Пример 6.3.5. Рассмотрим два предложения:

Р = «Множества А и В пересекаются»,

Q = «Множество А содержится в множестве В».

Ясно, что РФ(). Оказывается, обратное утверждение в общем случае тоже неверно, то есть ()ФР. Контрпример: Л=0, В — любое. Как известно, 0сЯ, но это непересекающиеся множества.