Рассмотрим четыре сегмента отсекаемых от окружности вписанным в нее четырехугольником

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. На рисунке 231 четырёхугольник EFMN описан около окружности с центром О, а четырёхугольник DKMN не является описанным около этой окружности, так как сторона DK не касается окружности.

На рисунке 232 треугольник АВС описан около окружности с центром О.

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то OK = OL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Обратимся к рисунку 232. Мы видим, что треугольник АВС составлен из трёх треугольников: ABO, ВСО и САО. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сторону треугольника АВС, то высотой окажется радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС. Поэтому площадь S треугольника АВС выражается формулой

площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

В отличие от треугольника не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трёх его сторон (рис. 233, а), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырёх его сторон, т. е. нельзя вписать окружность. Если же в четырёхугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Это свойство легко установить, используя рисунок 233, б, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. В самом деле, АВ + CD = а + b + с + d, ВС + AD-a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС + AD. Оказывается, верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность (см. задачу 724).

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. На рисунке 234 четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром О, а четырёхугольник AECD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Треугольник АВС на рисунке 235 является вписанным в окружность с центром О.

Докажем теорему об окружности, описанной около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС (рис. 235). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то О А = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудалён от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом (объясните почему). Если же около четырёхугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 236 и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле,

Оказывается, верно и обратное:

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (см. задачу 729).

Задачи

689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

692. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, СВ, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.

695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника.

696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см 2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

702. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) BC = 134°; б) АС = 70°.

703. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС= 102°.

704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α.

705. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B = 30°.

706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Ответы к задачам

689. см.

692. АР =1,5 см, РВ = 8,5 см, BQ = 8,5 см, QC = 3,5 см, CR= 3,5 см, RА = 1,5 см.

693. а) 60 см; б) 40 см.

702. a) ∠A = 67°, ∠B = 23°, ∠C = 90°; б) ∠A = 55°, ∠B = 35°, ∠C = 90°.

703. ∠A = 51°, ∠B = ∠C = 64°30′ или ∠A= 129°, ∠B = ∠C = 25°30′.

704. 6) d, d sin α, d cos α.

705. a) 5 cm; б) 18см. Указание. Воспользоваться задачей 704.

709. Указание. Воспользоваться свойством углов вписанного четырёхугольника.

710. Указание. Воспользоваться задачей 659.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Вписанный четырехугольник в окружность. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

С разделением математики на алгебру и геометрию учебный материал становится сложнее. Появляются новые фигуры и их частные случаи. Для того чтобы хорошо разобраться в материале, необходимо изучить понятия, свойства объектов и сопутствующие теоремы.

Общие понятия

Под четырехугольником подразумевается геометрическая фигура. Состоит она из 4-х точек. Причем 3 из них не располагаются на одной прямой. Имеются отрезки, последовательно соединяющие указанные точки.

Все четырехугольники, изучаемые в школьном курсе геометрии, показаны в следующей схеме. Вывод: любой объект из представленного рисунка обладает свойствами предыдущей фигуры.

Вам будет интересно: Железнодорожный техникум в Челябинске после 9 класса: специальности, отзывы

Четырехугольник может быть следующих видов:

• Параллелограмм. Параллельность его противоположных сторон доказывается соответствующими теоремами.
• Трапеция. Четырехугольник, у которого основания параллельны. Другие две стороны – нет.
• Прямоугольник. Фигура, у которой все 4 угла = 90º.
• Ромб. Фигура, у которой все стороны равны.
• Квадрат. Совмещает в себя свойства последних двух фигур. У него все стороны равны и все углы прямые.

Основное определение данной темы – вписанный четырехугольник в окружность. Оно заключается в следующем. Это фигура, вокруг которой описана окружность. Она должна проходить через все вершины. Внутренние углы четырехугольника, вписанного в окружность, в сумме дают 360º.

Не каждый четырехугольник может быть вписан. Связано это с тем, что серединные перпендикуляры 4-х сторон могут не пересечься в одной точке. Это сделает невозможным нахождение центра окружности, описанной около 4-угольника.

Частные случаи

Из всякого правила есть исключения. Так, в данной теме также имеются частные случаи:

• Параллелограмм, как таковой, не может быть вписан в окружность. Только его частный случай. Это прямоугольник.
• Если все вершины ромба находятся на описывающей линии, то он является квадратом.
• Все вершины трапеции находятся на границе окружности. В таком случае говорят о равнобедренной фигуре.

Свойства вписанного четырехугольника в окружность

Перед решением простых и сложных задач по заданной теме необходимо удостовериться в своих знаниях. Без изучения учебного материала невозможно решить ни один пример.

Теорема 1

Сумма противоположных углов, четырехугольника вписанного в окружность, равна 180º.

Дано: четырехугольник АВСД вписан в окружность. Ее центр – точка О. Нужно доказать, что

💥 Видео