Проанализируйте логическую структуру определения прямоугольника через четырехугольник и установите

Видео:Высказывания. Логические значения высказываний. Логические операции [8 класс]Скачать

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

В математике, как и других науках, мы имеем дело с понятиями. Условимся обозначать их через а, b, с. и т.д.

Всякое понятие характеризуется объемом и содержанием.

Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Условимся объем понятия а обозначать через А, объем понятия b через В.
Отношения между понятиями

Если объемы понятий а и bне пересекаются, т.е. если А B = , то понятия а и bнесовместимы.

Если объемы понятий а иbнаходятся в отношении пересечения, т. е. А B  , то понятия а и bсовместимы.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, т.е. А  В и А  В, то говорят, что:

1) понятие а является видовым по отношению к понятию b; понятие b – родовым по отношению к понятию а;

2) понятие а уже понятия b, а понятие bшире понятия а;

3) понятие а есть частный случай понятия b, а понятие bесть обоб­щение понятия а.

Если объем понятия а равен объему понятия b, то говорят, что понятия а иbтождественны.

Большую роль в математике играют определения понятий. Во всяком понятии выделяют определяемое и определяющее понятия. Например, в предложении «Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом» определяемое понятие – «прямоугольник» (т.е. что определяется), а определяющее понятие – «параллелограмм с прямым углом» (т.е. то, через что определяется данное понятие).

Между определяемым и определяющим понятиями ставится знак , который читается «равносильно по определению». Данное нами определение можно записать так: «прямоугольник параллелограмм с прямым углом».

Одним из видов определений является определение через род и видовое отличие. Структура таких определений такова: в определяющем понятии указывается: 1) родовое по отношению к определяемому понятие и 2) то свойство, которое выделяет нужный нам вид из других видов данного нам рода (так называемое видовое отличие). Так, в рассмотренном выше примере родовым понятием является понятие «параллелограмм», а видовым отличием – свойство «иметь прямой угол».

Определение понятия через род и видовое отличие можно изобразить схематически.


Задача 10.

Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «параллелограмм». Используя данное определение выясните правильность следующих обоснований:

а) Четырехугольник АВСД – прямоугольник, т.к. в нем есть прямой угол.

б) Четырехугольник ЕFKL – не прямоугольник, т.к. он не является параллелограммом.

Множество прямоугольников можно выделить из множества параллелограммов с помощью свойства «иметь прямой угол». Таким образом, получаем определение: «Прямоугольником называется па­раллелограмм, имеющий прямой угол».

Для оценки правильности обоснований выделим логическую структуру данного определения. С этой целью обозначим через А утверждение «четырехугольник-прямоугольник», через В – «четырехугольник – параллелограмм», а через Р – «четырехугольник имеет прямой угол». Тогда определение примет вид: А В  Р.

Так как свойства В и Р связаны конъюнкцией, то вывод о том, что четырехугольник-прямоугольник, возможен лишь в том случае, ког­да оба утверждения истинны, т.е. на основании того, что четырех­угольник параллелограмм и что в нем есть прямой угол. В данном обосновании есть указание на то, что в четырехугольнике АВСД имеется прямой угол, но не сказано, что АВСД – параллелог­рамм, этого не достаточно, чтобы утверждать, что АВСД – прямоу­гольник. Следовательно, данное обоснование неправильно.

Для того чтобы можно было сделать вывод о том, что четырех­угольник не является прямоугольником, достаточно убедиться в том, чт о хотя бы одно из утверждений В или Р ложно, т.е. в том, что четы­рехугольник не является параллелограммом или что в нем нет прямо­го угла. Так как в данном обосновании есть указание на то, что четырехугольник ЕFKL не является параллелограммом, то этого достаточ­но, чтобы утверждать, что ЕFKL – не прямоугольник. Следовательно, обоснование б) правильно.
умозаключения

Большую часть знаний об окружающей нас действительности получаем с помощью рассуждений. В логике вместо термина суждение» чаще используется в качестве его синонима слово «заключение». Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывания, содержащие новое знание, полученное из исходного.

В умозаключении из посылок выводится заключение. В словесных формулировках заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит» и др. Для удобства договорились записывать умозаключение с посылками А₁, А₂. А_ии заключением В в виде . В ней черта заменяет слово «следовательно».

Умозаключения делятся на дедуктивные (правильные) и недедуктивные (неправильные). Правильными называются умозаключения, в которых посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Неправильными называются все умозаключения, в которых нет логического следования между посылками и заключением.

Наиболее часто встречающиеся схемы правильных умозаключений (в математике они называются правилами вывода).

(правило заключения);

(правило отрицания);

(правило силлогизма).

Выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинное заключение. Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:

«Если запись числа х оканчивается четной цифрой, то число х делится на 2. Запись числа 126 оканчивается четной цифрой 6, следовательно, число 126 делится на 2».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) – это «запись числа х оканчивается четной цифрой», а В(х) – «число х делится на 2». Частная по­сылка представляет собой высказывание, которое получилось из усло­вия общей посылки при х = 126 (т.е. это А(126)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 126 (т.е. это В(126)). Таким образом, форма данного умозаключения такова:

Истинность умозаключений, выполненных по правилам заключе­ния, отрицания и силлогизма, можно показать, если записать правила на теоретико-множественном языке. Покажем, например, что умозаключение, выполненное по правилу силлогизма, является правильными.

Всё умозаключение, построенное по правилу силлогизма, запи­шется на теоретико-множественном языке так:

б) содержания понятия.

1. Какие виды понятий вы знаете? Назовите понятия, относящиеся к каждому виду.
2. Назовите способы определения понятий и перечислите основные требования к ним.
3. Что называется умозаключением?
4. Какое умозаключение называется дедуктивным?
5. Записать правила:

а) заключения; б) отрицания; в) силлогизма.

7. Изобразить с помощью кругов Эйлера правила: а) заключения; б) отрицания.
Упражнения

211. Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «четырехугольник», и выясните, являются ли прямоугольниками фигуры, изображенные на рисунке 12. Ответ обоснуйте.

212. Дайте определение прямоугольника, указав в качестве родового понятия понятие «параллелограмм», и выясните, являются ли прямоугольниками фигуры, изображенные на рисунке 13. Ответ обоснуйте.

213. Дайте определение квадрата, указав в качестве родового понятия понятие «прямоугольник», и выясните, какие из фигур, изображенных на рисунке 14, являются квадратами, а какие – нет. Ответ обоснуйте.

214. Дайте определение параллелограмма и выясните, какие из фигур, изображенных на рисунке 15, являются параллелограммами, а какие – нет. Ответ обоснуйте.

F₂

Рис. 13

F₃

Рис. 14

F₂

F₃

215. Известно, что равносторонним является треугольник, у которого все стороны равны. Используя данное определение, выясните правильны ли следующие обоснования:

а) АВС – равносторонний, так как АВ = ВС.

216. Дайте определение трапеции и на его основе выясните, правильны ли следующие обоснования:

а) Четырехугольник АВСД – трапеция, так как ВС || АД и АВ СД.

б) Четырехугольник ЕFКLне является трапецией, так FК ЕL. Ответ обоснуйте.

217. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника, указав в качестве видового отличия следующие свойства: «Хотябы две стороны треугольника равны», и выясните, правильны ли следующие обоснования:

а) треугольник АВС не является равнобедренным, так как АВ  ВС.

б) треугольник DEFявляется равнобедренным, так как ЕF = FD. Ответ обоснуйте.

В задачах 159-161 выясните, правильно ли определены понятия, в случае же отрицательного ответа внесите соответствующие изменения в определение.

218. а) квадратом называется четырехугольник, укоторого все стороны равны;

б) именем прилагательным называется часть речи, обозначающая признак предмета и отвечающая на вопрос «какой»?

219. а) ромбом называется четырехугольник, у которого все стороны равны;

б) прямоугольником называется ромб с прямым углом.

220.а) биссектриса угла – это луч, делящий угол пополам;

б) равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны.

221. Дайте определение равнобочной трапеции, используя в качестве родового понятия: а) многоугольник; б) четырехугольник; в) трапецию.

222. В каждом из нижеприведенных умозаключений выделите посылки и заключение: а) Все студенты нашей группы ходили на экскурсию. Волкова учится в нашей группе. Значит, она ходила на экскурсию.

б) Все хвойные – вечнозеленые. Ель – хвойное дерево. Значит ель – вечнозеленая.

в) Каждый студент нашего факультета бывает в подшефном детском доме. Маша ни разу не была в этом детском доме. Следовательно, Маша не учится на нашем факультете.

г) Если натуральное число делится на 9, то оно делится на 3. Число 27 делится на 9, следовательно, число 27 делится на 3.

д) Всякое натуральное число – целое. Число 4, 5 не является целым, следовательно, оно не является натуральным.

223. Запишите логическую форму умозаключений, приведенных в № 221, и укажите те из них, которые построены по правилу:

а) отрицания; б) заключения; в) силлогизма.

224. Является ли данное рассуждение дедуктивным:

а) Если студент получил зачет по математике, он будет допущен к экзамену. Ребров не допущен к экзамену, следовательно, он не сдал зачет.

б) Все туристы оптимисты, Егор не турист, следовательно он не оптимист.

Запишите это умозаключение на теоретико-множественном языке.

225. Является ли данное рассуждение правильным: все числа, делящиеся на 9, делятся на 3. Число 105 не делится на 9. Значит, число 105 не делится на 3.

1. Все ромбы являются параллелограммами, четырехугольник а не ромб. Следовательно не является параллелограммом.
2. Все туристы – оптимисты. Сергей не оптимист, следовательно он не турист.

По теме данной главы студент должен уметь:

• формулировать определения высказывания и предиката;
• определять истинностные значения высказываний и находить множества истинности предикатов;
• строить отрицание высказываний с кванторами;
• выделять отношения рода и вида между понятиями, изучаемыми в начальной школе ;
• раскрыть смысл понятия «отношение следования между предложениями» и приводить примеры таких отношений;
• приводить примеры задач из учебников математики начальной школы, формирующие у учащихся представления об объеме и содержании понятий;
• строить правильные умозаключения;

III. СООТВЕТСТВИЯ И ОТНОШЕНИЯ

Литература [1] гл. II §§ 8, 9, 10

1. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ МНОЖЕСТВ.

__________________________________________________________________

Определение 1. Соответствием Р между элементами множеств X и Y называется подмножество декартова произведения множеств X и Y, (Р XY)

_____________________________________________________________________________________________
Если элементу х из множества Х соответствует элемент у из множества У, то пишут хРу или (х,у)Р. Элемент уУ называется образом элемента х, а элемент хХ называют прообразом элемента уУ

Из определения следует, что соответствия можно задать: перечислением пар или графом (если множества конечные), указанием характеристического свойства элементов этого соответствия, графиком, если множества числовые, и табличным способом.

Пусть Х = 2,6,8 ; У = 7,5,3,1 хРу х 8 9 10 11 . 19

Видео:Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать

Тема: «Приемы формирования познавательных универсальных логических действий на этапе усвоения определений»

Видео:ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

МБОУ Возрожденская средняя общеобразовательная школа

Районные педагогические чтения

Тема: « Приемы формирования познавательных универсальных логических действий на этапе усвоения определений»

Автор работы: Савина М.И.

1. Формирование логической структуры определения понятия…………. 5

2. Этапы формирования понятий…………………………………………… 9

2.1 Подготовка к восприятию, актуализация знаний,

мотивация, проблемная ситуация…………………………………………….9

2.2 Восприятие, выявление содержания, термин, конструирование определений………………………………………………………………… 11

2.3 Осознание, осмысление, подведение под понятие, выведение следствий…………………………………………………………………… 15

2.3.1. Конструирование упражнений на формирование умений

подводить объект под понятие……………………………………………. 15

2.3.2 Конструирование упражнений на овладение действием

отыскания следствий на этапе «осознание, осмысление»…………………19

2.4 Закрепление и применение…………………………………………… 22

Цель работы: показать приемы формирования познавательных универсальных действий на этапе усвоения определений.

Выявить логическую структуру определения понятия, рассматривая определения через род и вид.

Привести примеры упражнений на анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

« подведение под понятие», отыскания следствий, построению логической цепи рассуждений, доказательству, выдвижению гипотез и их обоснованию .

Показать способы конструирования упражнений «подведение под понятие», отыскания следствий, построению логической цепи рассуждений.

Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Формируя познавательные универсальные действия, наряду с общеучебными мы должны уделять большое внимание формированию универсальных логических действий: анализу объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); синтезу, классификации объектов, подведению под понятие, выведению следствий, установлению причинно — следственных связей, построению логической цепи рассуждений, доказательству, выдвижению гипотез и их обоснованию . Значение определений в процессе воспитания логических культуры школьников трудно переоценить А.Я. Хинчин указывал на то, что «…заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической зубрежкой», и это должно быть доведено до сознания учащихся. Ключевым моментом в процессе формирования понятия является его определение. Определение понятия – условное соглашение, разумно выбираемое, исходя из реальных свойств того или иного понятия, или в соответствии с теми или иными требованиями процесса обучения.

1. Формирование логической структуры определения понятия

Наиболее распространенными являются определение понятий через род и видовое отличие.

Например, в предложении «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые» родовым понятием является понятие «четырехугольник», а видовым отличием – свойство иметь прямой угол.

Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего, а сама операция состоит из двух этапов:

Определяемое понятие подводится под более обширное по объему родовое понятие (род);

Указывается видовое отличие, т.е. устанавливается признак, отличающий определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род.

Например: «Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны». Определяемое понятие «трапеция» представляет собой вид родового понятия «четырехугольник», содержащего некоторые признаки понятия «трапеция»; остальная часть определения (видовое отличие) отличает трапецию от других четырехугольников.
Приведем символическое выражение определения через род и видовое отличие в виде формулы

Где А — определяемое понятие, Вс — определяющее понятие
(В — род, с — видовое отличие).

Можно указать различные способы задания видовых отличий:

перечислением некоторого набора свойств( биссектриса угла).

конструктивно, указанием способа построения (Рассмотрим, например, также определение ломаной: «Ломаной называется геометрическая фигура, которая состоит из отрезков А 1 А 2, А 2 А 3, …, Аn-1Аn . В этом определении указано родовое понятие по отношению к ломаной – фигура, а затем дан способ построения такой фигуры, которая является ломаной. Подобные определения называют генетическими. Определение может быть дано конструктивно, например, понятие «луча», « треугольника» и другие.

индуктивно ( арифметическая, геометрическая прогрессия)

через отрицание. ( Параллельные прямые — это две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются).

Чтобы ученик мог оперировать определением понятия, важно, чтобы он осознал родоподчиненную связь между понятиями и их видовые отличия, а также логическую природу связи между видовыми отличиями, если их несколько: конъюнктивную, дизъюнктивную или смешанную. Приведу ряд упражнений на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними:

1. Какое из двух понятий является родовым по отношению к другому:

Прямой угол, угол;

Существительное, часть речи;

Река. Река, впадающая в черное море.

2.Для каждого понятия из левого столбца подберите родовое понятие из правого столбца и выпишите пары «вид-род» (например, равнобедренный треугольник- треугольник)

Уравнение, биссектриса угла, медиана треугольника, квадрат, стол, местоимение, равнобедренный треугольник, пятиугольник.

Мебель, часть речи, равенство, луч, отрезок, треугольник, прямоугольник, многоугольник.

3.Изобразите с помощью круговых схем отношения между понятиями:

многоугольник, прямоугольник, четырехугольник;

равнобедренный треугольник, треугольник, равносторонний треугольник;

четырехугольник, многоугольник, прямоугольник, квадрат.

4.Для каждого из данных понятий подберите видовое отличие и дополните определение.

Квадрат — это четырехугольник,…

Квадрат — это прямоугольник,…

Равносторонний треугольник — это треугольник….

Трапеция — это четырехугольник…

5. Для каждого из данных понятий подберите родовое понятие и дополните определение.

Прямоугольник — это …, у которого противоположные углы прямые.

Прямоугольник — это…. у которого угол прямой.

Равнобедренный треугольник — это…у которого две стороны равны.

Квадрат — это…., у которого стороны равны.

6.Определите, какая ошибка допущена в определении ( подчеркните ее номер):

Не указано родовое понятие

Родовое понятие указано неверно

Не указано видовое отличие

Видовое отличие указано неверно (или неполностью)

Прямоугольник — это когда все углы прямые.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины.

Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Медиана – это отрезок, который делит сторону пополам.

📽️ Видео

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольникаСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Построение прямоугольника в изометрической проекцииСкачать

Задача В8 № 27610 ЕГЭ-2015 по математике. Урок 60Скачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Прямоугольное проецированиеСкачать

Разработка заданий для формирования и развития познавательных УУДСкачать