Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Площадь неправильного четырехугольника

Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.

С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».

Видео:Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольникаСкачать

Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольника

Как найти площадь неправильного четырехугольника?

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.

В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.

Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где d1, d2 — диагонали четырехугольника, α — острый угол между диагоналями .

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площади четырехугольников

Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиФормулы для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами,
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = ab
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
ПараллелограммПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
КвадратПлощадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = a 2
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = 4r 2
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
РомбПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
ТрапецияПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = m h
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
ДельтоидПлощадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = ab sin φ
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами,
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Параллелограмм
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Квадрат
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиS = 4r 2

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Ромб
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Трапеция
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Дельтоид
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми угламиПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Вписанный четырёхугольник
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
Прямоугольник
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

ДельтоидПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами
(рис.6).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🎦 Видео

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Олимпиадная математика ➜ Найдите площадь четырёхугольника на рисункеСкачать

Олимпиадная математика ➜ Найдите площадь четырёхугольника на рисунке

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

Найти площадь четырехугольника!Скачать

Найти площадь четырехугольника!

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)

Доказательство площади произвольного четырехугольника.Скачать

Доказательство площади произвольного четырехугольника.

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Строим прямой уголСкачать

Строим прямой угол
Поделиться или сохранить к себе: