В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
- Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Доказательства свойств
- Первое свойство
- Доказательство:
- Второе свойство
- Доказательство:
- Третье свойство
- Доказательство:
- Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
- Определение медианы прямоугольного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Пример задачи
- Медиана в прямоугольном треугольнике
- 12 Comments
- 💥 Видео
Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
DE || AB и DE = AB / 2.
FG || AB и FG = AB / 2
FX=XE, GX=XD
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать
Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать
Определение медианы прямоугольного треугольника
Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.
- BC = 2AD
- AD = BD = DC
Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.
Свойство 2
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.
Для нашего треугольника (см. рисунок выше):
Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.
Свойство 3
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.
Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.
Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.
Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать
Пример задачи
Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.
Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.
Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
Следовательно, b = 16 см.
Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.
Видео:Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.
Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:
Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.
Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:
1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)
2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.
Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.
Например:
Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать
12 Comments
Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.
Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.
не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144
попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора
задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой
Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))
А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?
Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.
1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.
💥 Видео
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать
Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать
Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать
Теорема "Свойство медианы прямоугольного треугольника"Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Свойство медианы прямоугольного треугольникаСкачать