Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cПараллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cПараллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cПараллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c(Рис.8).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Докажем, что Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c. Тогда Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cи Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c.

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c(Рис.11).

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c. Тогда из Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cи Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cследует, что Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c. Из Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cи Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой cследует, что Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

1.параллельны ли прямые a и b если прямая a лежит в плоскости не имеющей с прямой b общих точек

2.параллельны ли прямые a и b если эти прямые лежат в параллельных плоскостях

3. параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

4. параллельны ли прямые a и b если эти прямые пересекают плоскость причем точки пересечения не совпадают

Видео:№198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. ПересекаетСкачать

№198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает

Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c

Параллельны ли прямые a и b, если прямая a лежит в плоскости, не имеющей с прямой b общих точек?

Аналоги к заданию № 59: 60 Все

Параллельны ли прямые a и b, если эти прямые лежат в параллельных плоскостях?

Нет, так как по определению прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Аналоги к заданию № 61: 62 Все

Параллельны ли прямые a и b, если эти прямые перпендикулярны прямой c?

Аналоги к заданию № 61: 62 Все

Параллельны ли прямые a и b, если эти прямые пересекают плоскость Параллельны ли прямые a и b если эти прямые перпендикулярны прямой c, причём точки пересечения не совпадают?

Нет, так как эти прямые могут иметь общие точки и не лежать в одной плоскости.

📸 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: