Круг в треугольнике расчет (3 видео) | Курс школьной геометрии

Треугольник. Вписанная окружность

Расчет параметров вписанной в треугольник окружности.

Дополню коллекцию калькуляторов треугольников калькулятором, рассчитывающим параметры вписанной в треугольника окружности.
Собственно, ключевой вопрос — найти ее радиус.

Радиус ищется так:

где, S, например, можно рассчитать по формуле Герона (см. Расчет площади треугольника по формуле Герона), p — полупериметр.
Смотри также Треугольник. Описанная окружность.

Калькулятор рассчитывает радиус, площадь вписанной окружности, площадь треугольника и отношение площадей.

Содержание

Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник
Вычисление с помощью полупериметра
Вычисление с учётом площади треугольника
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Видео
Калькулятор расчета радиуса вписанной в треугольник окружности
Расчет радиуса окружности
Видео

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

Длин сторон треугольника.
Его площади.
Его периметра.
Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:

Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

Для начала нужно удвоить величину площади.
Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Калькулятор расчета радиуса вписанной в треугольник окружности

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета радиуса окружности, вписанной в треугольник: произвольный, прямоугольный, равнобедренный и равносторонний (правильный).

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Расчет радиуса окружности

На рисунке ниже в качестве примера изображена окружность, вписанная в произвольный треугольник.

Инструкция по использованию: введите требуемые стороны треугольника (зависит от его вида), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислен радиус (r) окружности, вписанной в фигуру.