Центр масс треугольника векторы

Скачать
презентациюO >>

Вектор, проведенный в центроид треугольника, Равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника. Центроид – точка пересечения медиан треугольника. Доказательство. O. С. M. A. B.

Слайд 59 из презентации «Определение вектора в пространстве». Размер архива с презентацией 777 КБ.

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Геометрия 11 класс

«Геометрические задачи в ЕГЭ» — Основной справочный материал. Площадь круга. Возможные задания. Осевое сечение конуса. Найдите площадь S кольца. Устные упражнения. Объем большего прямоугольного параллелепипеда. Площадь. Найдите объем многогранника. Найти длину ребра. Варианты задач. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами. Основы геометрии. Объем многогранника. Типичные ошибки. Решать планиметрические задачи. Площадь поверхности.

«Понятие центральной симметрии» — Задача. Центральная симметрия. Движения. Центральная симметрия является движением. Мы знакомились с движениями плоскости. Отображение пространства на себя. Движение пространства. Фигура называется симметричной. Точки М и М1 называются симметричными. Свойство. Центральная симметрия является частным случаем поворота.

«Теорема о трёх перпендикулярах» — Точка М. Сторона ромба. Точка. Обратная теорема. Отрезок МА. Пересечения диагоналей. Равные перпендикуляры. Перпендикулярность прямых. Катеты. Расстояние. Стороны треугольника. Перпендикуляр. Мышление. Расстояние от точки. Перпендикуляры к прямым. Перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Задачи на применение ТТП. Доказательство. Теорема о трёх перпендикулярах. Отрезок МС. Подумай. Теорема. Отрезок.

««Движение» 11 класс» — Центральная симметрия. Осевая симметрия. Симметрия в животном мире. Зеркальная симметрия. Скользящая симметрия. Параллельный перенос. Симметрия в архитектуре. Поворот. Введение. Симметрия в растениях. Движение. Движение.

«Координатный метод в пространстве» — Координата произведения вектора на число. Правило. Координата середины отрезка. Определение луча. Нулевой вектор. Задание. Координата вектора. Расстояние между точками. Нахождение точки на координатной плоскости. Координата суммы. Рисунок. Прямоугольная система координат. Вектор. Запись координат вектора. Задачка. Координаты вектора. Решение. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат в пространстве.

««Векторы» 11 класс» — Понятие вектора. Определение. Правило параллелограмма. История возникновения. Возникновение и развитие векторного исчисления. Компланарные векторы. Векторное исчисление. Законы сложения векторов. Примером скользящего вектора может служить сила. Равенство векторов. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой. Коллинеарные векторы. Сила, приложенная к некоторой точке упругого тела. Векторы.

Всего в теме «Геометрия 11 класс» 45 презентаций

Видео:Метод центра масс. Олимпиадная математика. Be Student SchoolСкачать

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Видео:Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Видео:координаты центра тяжести треугольникаСкачать

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Видео:97 Медианы и центр тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

📹 Видео

Центр масс в математике (или механика помогает геометрии)Скачать

Механика | динамика | центр масс треугольникаСкачать

3.3. Центр масс и закон его движения | Динамика | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите центр тяжестиСкачать

#635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Урок 80. Определение положения центра масс телаСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Центр тяжести. ЭкспериментСкачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать