Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3 : 5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров. Пусть периметр и площадь меньшего многоугольника соответственно равны P1 и S1, периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P2 и S2. Поэтому

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Преобразование фигур в геометрии с примерами решения

Содержание:

Отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками, называется движением. Примерами движения являются такие преобразования, как центральная симметрия, осевая симметрия, поворот (вращение), скольжение.

Поворот:

Пусть, заданы точка О и угол Отношение площадей двух подобных четырехугольников

1. Если точка А не совпадает с точкой О, то Отношение площадей двух подобных четырехугольников

2. Если точка А совпадает с точкой О, то точки Отношение площадей двух подобных четырехугольниковсовпадают.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Пример 1. Угол поворота Отношение площадей двух подобных четырехугольниковравен 45°. Точка А совершила поворот вокруг точки О, на угол 45° по часовой стрелке.

Пример 2. Проанализируйте последовательность шагов, при котором совершается поворот треугольника Отношение площадей двух подобных четырехугольниковвокруг точки О, на угол 120°. Повторите эти шаги, выполнив построение в тетради.

  • 1. Соедините точку О и точку С отрезком прямой.
  • 2. При помощи транспортира от ОС постройте угол 120° в направлении по часовой стрелке и циркулем отложите отрезок Отношение площадей двух подобных четырехугольников, конгруэнтный отрезку ОС.
  • 3. Потому же правилу соедините точку О с точками А и В. Постройте отрезки Отношение площадей двух подобных четырехугольниковконгруэнтные полученным отрезкам OA и ОВ и составляющие с ними угол 120°. Точки Отношение площадей двух подобных четырехугольниковявляются вершинами нового треугольника. Соедините эти точки.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Примечание. Центральная симметрия является поворотом плоскости относительно центра симметрии на 180°.

Исследуйте и начертите в тетради:

На рисунке показана последовательность шагов, которые выполняются при повороте треугольника Отношение площадей двух подобных четырехугольниковс вершинами А( 4;1), В( 3;5),С( 1;3) на угол 90° в направлении по часовой стрелке.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

При повороте на угол 90″ в направлении по часовой стрелке координаты вершин изменяются следующим образом.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольников

Отношения, пропорция

Свойства пропорции

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольниковто, Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольниковто, Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольниковто, Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольниковто, Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:№544. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второгоСкачать

№544. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго

Пропорциональные отрезки

Практическая работа. Пропорциональные отрезки.

1. Начертите в тетради 3 параллельные прямые.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

2. Проведите 3 секущие, которые пересекают эти прямые.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

3. Измерьте отрезки АВ, ВС, AC, DE, EF, DF, GH, HI и GI.

4. Запишите и вычислите следующие отношения

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

5. Можно ли по результатам сказать, что параллельные линии делят секущие на пропорциональные отрезки? Пропорциональные отрезки

Если для отрезков АВ, CD, Отношение площадей двух подобных четырехугольников, C1D1 выполняется Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Теорема. Параллельные линии, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки.

Доказательство. Допустим, что параллельные прямые пересекают стороны угла А в точках В и С, Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Для простоты, предположим, что существует отрезок длины Отношение площадей двух подобных четырехугольниковтакой, что он помещается целое число раз как в отрезке АС, так и в отрезке Отношение площадей двух подобных четырехугольников, Отношение площадей двух подобных четырехугольниковРазделим отрезок АС на равные отрезки длиной Отношение площадей двух подобных четырехугольниковв количестве Отношение площадей двух подобных четырехугольниковраз. В этом случае, одной из точек деления будет точка Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Через точки деления проведём прямые, параллельные ВС. По теореме Фалеса эти прямые разобьют отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Получим, что Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтсюда Отношение площадей двух подобных четырехугольниковТаким образом, Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Подобные четырехугольники, подобные треугольники

Подобными называются фигуры одинаковые по форме и у которых соответствующие размеры пропорциональны. Например, все квадраты подобны друг другу, так же как и окружности разных радиусов.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Подобными называются многоугольники, у которых соответствующие углы конгруэнтны, а соответствующие стороны являются пропорциональными отрезками. Например, на рисунке четырёхугольники ABCD и EFGH являются подобными четырёхугольниками. Так как, Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

У подобных треугольников соответствующие углы конгруэнтны, а соответствующие стороны являются пропорциональными отрезками. Здесь, говоря о соответствующих сторонах, имеются в виду стороны, которые находятся напротив конгруэнтных углов. На рисунке для Отношение площадей двух подобных четырехугольниковимеем:

Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение площадей двух подобных четырехугольников

Так как Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то Отношение площадей двух подобных четырехугольниковявляются подобными треугольниками. Подобие обозначается знаком Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение соответствующих сторон называется коэффициентом подобия и обозначается буквой Отношение площадей двух подобных четырехугольниковКоэффициент подобия треугольников на рисунке равен 3.

Видео:Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольников

Периметр подобных многоугольников

Теорема. Отношение периметров двух подобных многоугольников равно отношению соответствующих сторон (или коэффициенту подобия)

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение площадей двух подобных четырехугольников

Запишите доказательство теоремы, приняв коэффициент подобия за Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Для этого можно использовать равенство Отношение площадей двух подобных четырехугольников, которое следует, из отношения соответствующих сторон.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)

Признаки подобия треугольников

Признак подобия УУ (угол угол)

Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Этот признак подобия коротко записывается как УУ.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Признак подобия ССС

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Этот признак подобия коротко записывается как ССС.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Признак подобия СУС

Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами конгруэнтны, то такие треугольники подобны. Этот признак подобия коротко записывается как СУС.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Подобие прямоугольных треугольников

Высота, проведенная к гипотенузе

Теорема. Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Доказательство данной теоремы проводится на основании признака подобия УУ Для каждого из трёх треугольников нужно определить два конгруэнтных угла.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое. Для положительных чисел а и b средним геометрическим называется положительное число Отношение площадей двух подобных четырехугольников, удовлетворяющее равенству Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка (на рисунке AD и DB) Здесь отрезки AD и DB являются проекциями катетов АС и ВС на гипотенузу, соответственно.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Следствие 1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Следствие 2. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:№547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.Скачать

№547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Применение подобия треугольников

Пропорциональные отрезки

Теорема. Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей стороне делит стороны на пропорциональные отрезки.

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Обратная теорема. Если прямая, пересекающая две стороны треугольника делит их на пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне.

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Высоты, медианы и биссектрисы подобных треугольников

Теорема 1. Если два треугольника подобны, то отношение длин соответствующих высот равны отношению длин соответствующих сторон.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Теорема 2. Если два треугольника подобны, то отношение длин соответствующих медиан равны отношению длин д соответствующих сторон.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Теорема 3. Если два треугольника подобны, то отношение длин соответствующих биссектрис равны отношению длин соответствующих сторон.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Теорема. Свойство медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в точке пересечения в отношении 2:1, начиная от вершины.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.

Доказательство теоремы представлено в виде двухстолбчатой таблицы.

Дано: Отношение площадей двух подобных четырехугольниковCD и AE медианы треугольника

Доказательство: соединим точки O и E.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Преобразование подобия, гомотетия

Гомотетия

Преобразование плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз называется преобразованием подобия. Фигуры называются подобными, если одна фигура переводится в другую преобразованием подобия. Если при преобразовании подобия точки А и В на плоскости соответственно преобразованы в точки Отношение площадей двух подобных четырехугольниковЧисло Отношение площадей двух подобных четырехугольниковназывается коэффициентом подобия. Преобразование подобия при Отношение площадей двух подобных четырехугольниковназывается движением. Предположим, что заданы точка О и число Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Преобразование плоскости на себя при котором для произвольной точки А плоскости и преобразованной точки Отношение площадей двух подобных четырехугольниковвыполняется равенство Отношение площадей двух подобных четырехугольниковназывается гомотетией. Точка О называется центром гомотетии, число Отношение площадей двух подобных четырехугольников— коэффициентом гомотетии, точки А и Отношение площадей двух подобных четырехугольниковгомотетичными точками.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то фигура увеличивается относительно изначальной фигуры.

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то фигура уменьшается относительно изначальной фигуры.

Если Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то фигура конгруэнтна изначальной фигуре.

Площади подобных фигур

Теорема. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Например, если отношение соответствующих сторон двух подобных четырёхугольников равно Отношение площадей двух подобных четырехугольников, то отношение площадей равно Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Многоугольник
  • Площадь многоугольника
  • Правильные многоугольники
  • Вписанные и описанные многоугольники
  • Четырехугольник
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:ЕГЭ Задание 16 Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

ЕГЭ Задание 16 Отношение площадей подобных треугольников

Подобие фигур

Подобие фигур — это две геометрические фигуры или два геометрических тела называются подобными, если одно представляет собой уменьшенную модель другого.

Содержание:

Понятие подобия фигур

В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называют подобными.

Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы.

Для обозначения подобия фигур употребляется знак Отношение площадей двух подобных четырехугольников. На рисунке 2.434 изображены подобные фигуры Отношение площадей двух подобных четырехугольников. Запись Отношение площадей двух подобных четырехугольниковчитается: фигура Отношение площадей двух подобных четырехугольниковподобна фигуре Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Для подобных фигур вводится понятие — коэффициент подобия, он обозначается k; k всегда больше нуля. Коэффициент подобия показывает, в каком отношении находятся соответствующие расстояния между точками фигур. На рисунке 2.434 коэффициент подобия можно определить, найдя отношения сторон квадратиков изображенной сетки.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Подобие фигур широко используется при разработке планов построек зданий или при изображении на картах городов или других участков земной поверхности. Всякий план или карта является подобным изображением реального объекта или участка земной поверхности, т. е. фигурой, подобной реальному объекту. При этом план или карта может изображать реальный объект в разном масштабе.

Определение. Масштаб — это коэффициент подобия соответствующих фигур.

Подобие треугольников

На рисунке 2.435 изображены два чертежных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30°. Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза: Отношение площадей двух подобных четырехугольниковУ этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против разных углов, пропорциональны: Отношение площадей двух подобных четырехугольниковТакие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными.

Отношение площадей двух подобных четырехугольников

Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобие треугольников записывается так: Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. В случае, изображенном на рисунке 2.435, коэффициентом подобия треугольников Отношение площадей двух подобных четырехугольниковбудет число 2. Если же взять отношения Отношение площадей двух подобных четырехугольников, коэффициент подобия будет равен Отношение площадей двух подобных четырехугольников.

Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.

Если фигуры равны, то они подобны с коэффициентом подобия, равным 1. Если фигуры подобны, то они не обязательно равны.

Теорема 1. (Лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному.

Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников.

Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Следствия из этой теоремы.

1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подобие многоугольников

Определение. Если стороны одного многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответственные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.

На рисунке 2.436 изображены два подобных пятиугольника Отношение площадей двух подобных четырехугольников, у них Отношение площадей двух подобных четырехугольников Отношение площадей двух подобных четырехугольникова также Отношение площадей двух подобных четырехугольниковk — коэффициент подобия.

Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны (рис. 2.437). Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны (рис. 2.438).

Отношение площадей двух подобных четырехугольниковОтношение площадей двух подобных четырехугольников

Теорема 6. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их сходственных сторон (коэффициенту подобия).

Теорема 7. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

📸 Видео

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | Инфоурок

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадей

8 класс Отношение площадей подобных фигурСкачать

8 класс  Отношение площадей подобных фигур

Отношение площадейСкачать

Отношение площадей

Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольников

#57. Отношение площадей треугольников — самые надежные отношения!Скачать

#57. Отношение площадей треугольников — самые надежные отношения!

ЕГЭ Задание 16 Отношение площадейСкачать

ЕГЭ Задание 16 Отношение площадей

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решенияСкачать

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решения
Поделиться или сохранить к себе: