Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника по координатам вершин

Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.

Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.

Найти медиану треугольника через векторыДано: ΔABC,

1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Вектор медианы через стороны

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Найти медиану треугольника через векторы

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Найти медиану треугольника через векторы

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Найти медиану треугольника через векторы

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Найти медиану треугольника через векторы

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Найти медиану треугольника через векторы

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Найти медиану треугольника через векторы

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Найти медиану треугольника через векторы

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Найти медиану треугольника через векторы

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Найти медиану треугольника через векторы

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Найти медиану треугольника через векторыплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Найти медиану треугольника через векторы

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Найти медиану треугольника через векторы

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Применение векторов к решению задач

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Найти медиану треугольника через векторы

На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Применение векторов к решению задач

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Найти медиану треугольника через векторы

На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

💡 Видео

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольника

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать

№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать

Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

ЗАДАЧА ДЛЯ ОТЛИЧНИКОВ | Как найти медиану треугольника через стороныСкачать

ЗАДАЧА ДЛЯ ОТЛИЧНИКОВ | Как найти медиану треугольника через стороны

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO черезСкачать

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: