Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

Изображение синусоидальной функции векторами,(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Изображение синусоидальной функции векторами,(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока Изображение синусоидальной функции векторами ;

u – мгновенное значение напряжения Изображение синусоидальной функции векторами ;

е — мгновенное значение ЭДС Изображение синусоидальной функции векторами ;

р — мгновенное значение мощности Изображение синусоидальной функции векторами .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

Изображение синусоидальной функции векторами — амплитуда тока;

Изображение синусоидальной функции векторами — амплитуда напряжения;

Изображение синусоидальной функции векторами — амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Изображение синусоидальной функции векторами,(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

Изображение синусоидальной функции векторами Изображение синусоидальной функции векторами .

Изображение синусоидальной функции векторами
Значения аргументов синусоидальных функций Изображение синусоидальной функции векторами и Изображение синусоидальной функции векторами называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): Изображение синусоидальной функции векторами и Изображение синусоидальной функции векторами начальной фазой ( Изображение синусоидальной функции векторами Изображение синусоидальной функции векторами ).

Величину Изображение синусоидальной функции векторами , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на Изображение синусоидальной функции векторами рад., то угловая частота есть Изображение синусоидальной функции векторами , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

Изображение синусоидальной функции векторами .

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Изображение синусоидальной функции векторами

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток Изображение синусоидальной функции векторами равен сумме токов Изображение синусоидальной функции векторами и Изображение синусоидальной функции векторами двух ветвей:

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторами.

Результирующий ток также будет синусоидален:

Изображение синусоидальной функции векторами.

Определение амплитуды Изображение синусоидальной функции векторамии начальной фазы Изображение синусоидальной функции векторамиэтого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Изображение синусоидальной функции векторами

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным Изображение синусоидальной функции векторами .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Изображение синусоидальной функции векторами .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения Изображение синусоидальной функции векторами и Изображение синусоидальной функции векторами из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения Изображение синусоидальной функции векторами путем формального учета угловой частоты: Изображение синусоидальной функции векторами .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Изображение синусоидальной функции векторами

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной Изображение синусоидальной функции векторами

тригонометрической Изображение синусоидальной функции векторами или

алгебраической Изображение синусоидальной функции векторамиформах.

Например, ЭДС Изображение синусоидальной функции векторами , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Изображение синусоидальной функции векторами .

Фазовый угол Изображение синусоидальной функции векторами определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

Изображение синусоидальной функции векторами .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Изображение синусоидальной функции векторами,(4)

Комплексное число Изображение синусоидальной функции векторами удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Изображение синусоидальной функции векторами,(5)

Параметр Изображение синусоидальной функции векторами , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: Изображение синусоидальной функции векторами , а параметр Изображение синусоидальной функции векторамикомплексом мгновенного значения.

Параметр Изображение синусоидальной функции векторами является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота Изображение синусоидальной функции векторамиесть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Изображение синусоидальной функции векторами и оператора поворота Изображение синусоидальной функции векторами :

Изображение синусоидальной функции векторами .

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Изображение синусоидальной функции векторами,(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Изображение синусоидальной функции векторами ,

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу Изображение синусоидальной функции векторами , т.е. угол, который образует вектор Изображение синусоидальной функции векторами с положительной полуосью +1:

Изображение синусоидальной функции векторами .

Тогда мгновенное значение напряжения:

Изображение синусоидальной функции векторами ,

где Изображение синусоидальной функции векторами .

При записи выражения для определенности было принято, что Изображение синусоидальной функции векторами , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если Изображение синусоидальной функции векторами , то при Изображение синусоидальной функции векторами (второй квадрант)

Изображение синусоидальной функции векторами,(7)

а при Изображение синусоидальной функции векторами (третий квадрант)

Изображение синусоидальной функции векторами(8)
Изображение синусоидальной функции векторами(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде Изображение синусоидальной функции векторами , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Изображение синусоидальной функции векторами .

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока Изображение синусоидальной функции векторами по рис. 5 получим:

Изображение синусоидальной функции векторами
где Изображение синусоидальной функции векторами
;

Изображение синусоидальной функции векторами .

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Изображение синусоидальной функции векторами .

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в Изображение синусоидальной функции векторами раз:

Изображение синусоидальной функции векторами.(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

Изображение синусоидальной функции векторами .

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока Изображение синусоидальной функции векторами записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 Изображение синусоидальной функции векторами , а Изображение синусоидальной функции векторами . Определить Изображение синусоидальной функции векторами .

Ответ: Изображение синусоидальной функции векторами .

Видео:Лекция по электротехнике 3.2 - Изображение синусоидальной функции векторомСкачать

Лекция по электротехнике 3.2 - Изображение синусоидальной функции вектором

Часть III. Цепи синусоидального тока

Тема 3. Цепи синусоидального тока

  1. Общие сведения и определения
  2. Комплексная амплитуда
  3. Действующие значения синусоидальной функции
  4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
  5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами
  6. Закон Ома в комплексной форме
  7. Уравнения элементов в комплексной форме
  • § 3.1. Общие сведения и определения:

Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.

  • конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
  • генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
  • переменный ток легко преобразовывается с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.

Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.

Переменный ток характеризуется:

Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.

Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.

Частота – обратно периоду.

Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.

Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.

В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.

ЭДС: Изображение синусоидальной функции векторами.

Напряжение: Изображение синусоидальной функции векторами.

Ток: Изображение синусоидальной функции векторами;

e(t), u(t), i(t) – мгновенные значения;

ω = 2π – угловая частота, [рад/с];

ƒ = 1 Т – циклическая частота, [Гц];

Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.

Изображение синусоидальной функции векторами

  • § 3.2. Комплексная амплитуда:

Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.

Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.

Изображение синусоидальной функции векторами

где j = √ — 1 – мнимая единица.

Изображение синусоидальной функции векторамиИзображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами– комплексная амплитуда.

Изображение синусоидальной функции векторами– сопряженная комплексная амплитуда.

Изображение синусоидальной функции векторами– поворотный множитель.

Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна Um и которые равномерно вращаются со скоростями, равными ω в противоположные стороны.

  • § 3.3. Действующие значения синусоидальной функции:

Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.

Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:

Изображение синусоидальной функции векторами

то действующее значение:

Изображение синусоидальной функции векторами

Аналогично и для тока I и ЭДС ε .

Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:

Изображение синусоидальной функции векторамиИзображение синусоидальной функции векторами

Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса m.

Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R , что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.

  • § 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:

Изображение синусоидальной функции векторами

где a – проекция вектора на ось y в момент времени t.

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторамирис. а рис. б

Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.

Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:

если: Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторами.

Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ω представляет собой также синусоиду частотой ω , то есть i = Imsin (ωt + ψ ) и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды Im и начальной фазы Ψ суммарного тока i. Искомые параметры Im и Ψ можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.

Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I1m и I2m , вращающихся с частотой ω, положение которых для момента времени t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор Im будет вращаться с частотой ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.

Следовательно, i = i1 + i2 – геометрическое изображение искомого тока.

Изображение синусоидальной функции векторами

Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду Im тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ.

Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

  • § 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:

Изображение синусоидальной функции векторамиДля введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re, а ось y – с Im.

Любому вектору A, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

  • алгебраической:Изображение синусоидальной функции векторами
  • тригонометрической: Изображение синусоидальной функции векторами
  • показательной: Изображение синусоидальной функции векторами( e – основание натурального логарифма).

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

Изображение синусоидальной функции векторами

Переход от одной формы записи к другой:

Изображение синусоидальной функции векторами

где a1 – действительная часть;

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( A = 1 ):

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

где C = AB .

Изображение синусоидальной функции векторами

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

Изображение синусоидальной функции векторами

Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент Ψ комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

Изображение синусоидальной функции векторами

Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных значений:

Изображение синусоидальной функции векторами.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Видео:Представление комплексных чисел синусоидальными величинамиСкачать

Представление комплексных чисел синусоидальными величинами

Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами

· Представление синусоидальных функций вращающимися векторами

Расчет переменных токов и напряжений с помощью алгебраических операций их мгновенных значений по исходным выражениям (1.1а) − (1.1в) весьма неудобен из-за громоздких вычислений. Графическое представление синусоидальных величин (см. рис.1.3) достаточно наглядно для одной, двух синусоид, но для сложных цепей практически не используется, ввиду трудности построения и анализа нескольких синусоидальных величин.

Представления синусоидальных функций при помощи вращающихся векторов (векторных диаграмм), как показано на рис 1.4, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между разными напряжениями, токами и широко используется при объяснении процессов в цепях переменного тока.

Мгновенное значение синусоидальной функции времени t или угла поворота wtможно представить в виде изменяющейся проекции на вертикальную ось вращающегося с угловой скоростью wвектора, как показано на рис 1.4. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются, как и комплексные величины, точками вверху. Сравнивая рисунки 1.4,а и 1.4,б, можно видеть что длины векторов Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторамиравны амплитудам напряжения Um и тока Im синусоидальных функций напряжения uи тока i.

Изображение синусоидальной функции векторами

Рис.1.4. Соответствие синусоидальных функций u, i
и вращающихся векторов Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторами

а) – графики мгновенных значений синусоидальных величин напряжения и тока; б)–вращающиеся с угловой скоростью ω векторы Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторами

Проекции вращающихся с угловой скоростью ω векторов Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторамина ось ординат У (рис. 1.4,б) равны мгновенным значениям синусоидальных функций напряжения uи тока i (рис. 1.4,а)

Углы наклона к оси абсцисс Х векторов Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторамиизменяются с угловой скоростью wи для момента времени t = t1 соответствуют фазам yu1 и yi1, поскольку для этого момента:

Начальные фазы yu и yi будут соответствовать углам наклона векторов Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторамик оси Хв начальный момент времени t = 0 (рис. 1.4,б). Легко убедится, что векторы Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторами, вращающиеся с одной угловой скоростью w, будут взаимно неподвижнымии для любого момента времени сохраняют неизменным сдвиг фаз между напряжением и током:

Так как фазовые сдвиги между напряжениями, токами и ЭДС одной частоты w остаются неизменными в течение времени, то от системы вращающихся векторов можно перейти к эквивалентной системе неподвижных векторов для момента времени t = 0.

В электротехнике принято оперировать действующими значениями величин напряжений U , ЭДС Е и токов I. Поэтому длины векторов на векторных диаграммах соответствуют не амплитудным, а действующим значениям, которые, как было выше сказано в Изображение синусоидальной функции векторамираз меньше амплитудных значений.

Углы наклона векторов напряжения Изображение синусоидальной функции векторамии тока Изображение синусоидальной функции векторамик оси абсцисс (рис. 1.4,б) равны начальным фазам yu и yi (см. рис. 1.4,а). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной величины: действующее значение и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота w должен быть заранее известен.

За положительное направление вращения векторов с угловой скоростьюw принято направление вращения против часовой стрелки (см. рис 1.4,б). Первый по вращению вектор считается опережающим следующий за ним вектор нафазовый угол j, который, в свою очередь, считается отстающим на тот же угол j относительно первого вектора. Например, на рис. 1.4,а вектор напряжения Изображение синусоидальной функции векторамиопережает вектор тока Изображение синусоидальной функции векторамина фазовый угол j или наоборот, можно считать, что вектор тока Изображение синусоидальной функции векторамиотстает относительно вектора Изображение синусоидальной функции векторамина тот же угол j.

Если для синусоидальных величин одной частоты начальные фазы одинаковы, то векторы этих величин направлены в одну сторону, фазовый угол между ними равен нулю (j=0) и говорят, что эти величины совпадают по фазе (синфазны). Когда для синусоидальных величин разность фаз j = ±p, то векторы этих величин направлены в противоположные стороны и говорят, что эти величины противоположны по фазеили находятся в противофазе.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, относящиеся к одной цепи, называют векторной диаграммой.

Применение векторных диаграмм делает наглядным анализ электрический цепи. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить геометрическим сложением и вычитанием их векторов, по правилам, представленным в Приложении 4.

· Представление синусоидальных функций комплексными числами

Применение векторных диаграмм для анализа цепей переменного тока, несмотря на простоту и наглядность, не всегда дает достаточную точность при расчетах. Метод представления синусоидальных функций комплексными величинами и оперирование с ними как с комплексными числами, называемый комплексным методом [1], объединяет в себе простоту векторных диаграмм с возможностью производить расчеты с любой заданной степенью точности.

Комплексный метод основан на представлении векторов из декартовой системы координат (рис. 1.5,а) в комплексной плоскости (см. рис. 1.5,б) и на записи их комплексными числами. Это позволяет для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и методы расчета этих цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока, конечно с учетом специфики оперирования с комплексными величинами.

Изображение синусоидальной функции векторами

Рис. 1.5. Соответствие векторов и комплексных чисел

а) – векторы действующих значений тока I и напряжения U на векторной диаграмме;

б) – представление векторов тока и напряжения на комплексной плоскости

Синусоидальную функцию тока или напряжения можно однозначно изобразить соответствующим вектором в декартовых координатах (см. рис. 1.5,а) или на комплексной плоскости (рис. 1.5,б). В свою очередь, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме. Например, комплексы тока Изображение синусоидальной функции векторамиинапряжения Изображение синусоидальной функции векторамина рис. 1.5,б, соответствующие векторам тока Изображение синусоидальной функции векторамии напряжения Изображение синусоидальной функции векторамина векторной диаграмме рис. 1.5,а, можно представить в алгебраической форме:

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

в тригонометрической форме:

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

и показательной форме:

Изображение синусоидальной функции векторами

Изображение синусоидальной функции векторами

где Изображение синусоидальной функции векторамии Изображение синусоидальной функции векторамимодули комплексов тока и напряжения, равные длинам векторов этих величин, которые определяют действующие значения соответствующего тока и напряжения;
yi = arctgIр/Iа и yu = arctgUр/Uааргументы комплексовтока и напряжения, равные их начальным фазам; Изображение синусоидальной функции векторамиформула Эйлера, связывающая алгебраическую и показательную формы записи комплексных чисел; еоснование натурального логорифма; Изображение синусоидальной функции векторамимнимая единица.

Примечание В электротехнике мнимая единица обозначается буквой j, в отличие от математики, где мнимая единица – i(а в электротехнике i– это принятое обозначение тока).

Таким образом, комплексное число или просто комплекс тока или напряжения в любой из выше перечисленных форм записи является отображением соответствующей синусоидальной функции тока или напряжения.

· Правила операций с векторами и комплексными величинами

Если исходный вектор Изображение синусоидальной функции векторамиповернуть на комплексной плоскости из положения 1 в положение 2 против часовой стрелки на угол β (см. рис. 1.6), то в комплексной форме это запишется как Изображение синусоидальной функции векторами.

Изображение синусоидальной функции векторами

Рис. 1.6. Операция поворота вектора на комплексной плоскости

Следовательно, умножение комплексного числа Изображение синусоидальной функции векторамина множитель типа Изображение синусоидальной функции векторамисоответствует повороту вектора Изображение синусоидальной функции векторамина комплексной плоскости на угол ±b, причем угол +b откладывается против часовой стрелки, а (-b) – по ходу часовой стрелки.

Если угол b = p/2= 90°, то из формулы Эйлера следует:

Изображение синусоидальной функции векторами.

То есть умножение комплексного числа на мнимую единицу ±j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±p/2.

Если взять, например, комплекс в алгебраической форме Изображение синусоидальной функции векторами, изображенный вектором Изображение синусоидальной функции векторамив положении 1 (см. рис. 1.6), то, умножив его +j, получим Изображение синусоидальной функции векторами, что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту исходного вектора Изображение синусоидальной функции векторамина угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки) из положения 1 в положение 3.

Считая угол поворотного множителя функцией времени, когда b = wt, получаем множитель или оператор вращения Изображение синусоидальной функции векторами. В этом случае вектор станет радиусом-вектором, вращающимся относительно начала координат на комплексной плоскости с угловой скоростью w против часовой стрелки, что записывается в виде: Изображение синусоидальной функции векторами. Это выражение называют комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.

Комплексное число Изображение синусоидальной функции векторамибудетдействительным числом А, когда сомножитель b при мнимой единице будет равен нулю, при этом аргумент комплексного числа – угол α будет равен нулю или π, а на комплексной плоскости этому действительному числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль оси действительных чисел вправо от нуля (при угле α = 0)или влево от нуля (отрицательные числа при угле α = π).Комплексное число Изображение синусоидальной функции вектораминазывается мнимым, когда действительное число а = 0, а аргумент комплексного числа – угол α будет равен ±π/2. На комплексной плоскости этому мнимому числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль вертикальной оси мнимых чисел ±j.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций времени производят путем тех же алгебраических действий с соответствующими комплексными числами или векторами на комплексной плоскости. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме, и наоборот, соответствует переходу от декартовых координат к полярным и от полярных координат – к декартовым. При этом операции алгебраического сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, заменяются эквивалентными операциями геометрического сложения и вычитания соответствующих комплекс-векторов, записанных в показательной форме. Выбор той или иной формы записи комплексных чисел определяется простотой и удобством оперирования для определенной математической операции. Так, при сложении и вычитании комплексных чисел более удобна алгебраическая форма записи, а при умножении и делении – показательная.

Дата добавления: 2016-04-11 ; просмотров: 8364 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

🔥 Видео

ТОЭ 26. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.Скачать

ТОЭ 26. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

Единичный векторСкачать

Единичный вектор

Мама, я Гейне! #26 Вектор-функцииСкачать

Мама, я Гейне! #26 Вектор-функции

Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощностиСкачать

Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощности

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Расчет цепей переменного синусоидального тока | Метод комплексных амплитуд | Часть 3Скачать

Расчет цепей переменного синусоидального тока | Метод комплексных амплитуд | Часть 3

Лекция 040-2. Комплексные числа. Представление синусоид комплексными числамиСкачать

Лекция 040-2.  Комплексные числа.  Представление синусоид комплексными числами

Лекция по электротехнике 3.1 - Получение синусоидальной ЭДССкачать

Лекция по электротехнике 3.1 - Получение синусоидальной ЭДС

Урок 25. Что такое Переменный ТОК | Практические примерыСкачать

Урок 25. Что такое Переменный ТОК | Практические примеры

Синусоиды (видео 45) | Анализ цепей | ЭлектротехникаСкачать

Синусоиды (видео 45) | Анализ цепей | Электротехника

Теоретические основы электротехники 30. Символический расчёт схем синусоидального тока.Скачать

Теоретические основы электротехники 30. Символический расчёт схем синусоидального тока.

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Синусоидальный однофазный переменный токСкачать

Синусоидальный однофазный переменный ток

AGalilov: Преобразование Фурье "на пальцах"Скачать

AGalilov: Преобразование Фурье "на пальцах"

Векторная диаграмма токов на комплексной плоскости вручнуюСкачать

Векторная диаграмма токов на комплексной плоскости вручную

Урок 26. Что такое Фаза и Сдвиг ФазСкачать

Урок 26. Что такое Фаза и Сдвиг Фаз

Преобразования #11: введение в вейвлеты, вейвлет-преобразование ХаараСкачать

Преобразования #11: введение в вейвлеты, вейвлет-преобразование Хаара
Поделиться или сохранить к себе: