Ортогональная матрица вектора столбца (8 видео)

Ортогональные матрицы

Действительная матрица А называется ортогональной, если ее транспонированная матрица А / совпадает с обратной А -1 , т.е.

Ортогональная матрица имеет следующие свойства.

1. Строки (столбцы) ортогональной матрицы попарно ортогональны.

Действительно, если , то из равенства (2) имеем:

2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равна 1.

Из равенства (2) при получаем:

3. Определитель ортогональной матрицы равен .

На основании равенства (2) имеем:

4. Транспонированная и обратная матрицы ортогональной матрицы суть также ортогональные матрицы. Это свойство вытекает из формул (1) и (2).

Содержание

Ортогонализация матриц
Ортогональная матрица вектора столбца
Ортогональная матрица: свойства, доказательство, примеры
Содержание:
Свойства
Демонстрация
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Ссылки
💥 Видео

Видео:A.7.15 Ортогональная матрицаСкачать

Ортогонализация матриц

Пусть имеем матрицу с действительными элементами

Столбцы матрицы А будем рассматривать как векторы

Следовательно, эту матрицу можно записать в таком виде:

Теорема. Всякую неособенную матрицу А можно представить в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами на верхнюю треугольную матрицу, т.е.

A = RT где R — матрица с ортогональными столбцами и Т — верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Доказательство. Для простоты доказательство теоремы проведем для случая, когда порядок матрицы n = 3. Пусть

Запишем эту матрицу в виде

Так как матрица А — неособенная, то векторы линейно независимы.

Если бы эти векторы были линейно зависимы, то в det A один из столбцов являлся бы линейной комбинацией двух других и, следовательно, det A = 0, что невозможно. Будем искать матрицу R также в виде

где искомые ортогональные столбцы.

Вектор раскладываем на составляющие , из которых первая направлена по вектору а вторая перпендикулярна (ортогональна) к нему, т.е.

Аналогично вектор раскладываем на три составляющие из которых первые две направлены соответственно по векторам , а последняя перпендикулярна как к вектору и к вектору , т.е.

Векторы будут взаимно перпендикулярны. Определим из системы (2) и (3) как векторы , так и коэффициенты . Умножая скалярно обе части уравнения (2) на в силу условия ортогональности (2 / ) получим:

В силу неособенности матрицы А вектор и поэтому . Кроме того, , так как в противном случае векторы , в силу условий ортогональности (2/) и (3/) получим:

Отсюда, учитывая, что

Так построенные векторы попарно ортогональны. Таким образом, окончательно имеем:

Система (4) эквивалентна матричному уравнению

где матрица с ортогональными столбцами, а верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Пример. Ортогонализировать столбцы матрицы

Для определения вычислим Имеем:

попарно ортогональны, в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

В некоторых случаях выгоднее ортогонализировать не столбцы, а строки матрицы, рассматривая их как соответствующие векторы.

Пусть А / — транспонированная матрица для данной матрицы А — приведена к виду

где R- матрица с ортогональными столбцами и Т — верхняя треугольная матрица с единичной диагональю. Транспонируя равенство (6), получим:

где Т / — нижняя треугольная матрица и R / — матрица с ортогональными строками.

Таким образом, указанный прием ортогонализации столбцов матрицы годится также и для ортогонализации строк.

Видео:9 4 Ортогональные матрицыСкачать

Ортогональная матрица вектора столбца

Напомним, что матрица называется ортогональной, если ее столбцы нормированы и попарно ортогональны.

Лемма. Пусть — вещественные нормированные попарно ортогональные столбцы длины , и пусть Тогда существует нормированный столбец ортогональный столбцам

Запишем требования ортогональности и нормированности в виде уравнений. Придем к системе:

Первые k уравнений образуют линейную однородную систему, причем число уравнений k меньше числа неизвестных . Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть — одно из них . Тогда числа будут удовлетворять всем уравнениям системы, т. е. дадут решение задачи.

Заметим, что условие здесь существенно. При столбцы составляют ортогональную матрицу, она невырожденна, и система для определения окажется несовместной, так что более чем попарно ортогональных нормированных столбцов не может существовать.

Отметим следующие следствия:

Любую матрицу, состоящую из попарно ортогональных нормированных столбцов, можно дополнить до ортогональной матрицы. Действительно, столбцов в такой матрице не может быть больше . Если их , то матрица ортогональна. Если же их меньше , то можно присоединять новые столбцы до тех пор, пока не придем к ортогональной матрице.

В частности, любой нормированный столбец может быть принят за первый столбец ортогональной матрицы.

Пример. Вложить столбец в ортогональную матрицу.

Этот столбец нормирован и к нему нужно пристроить еще два нормированных столбца, ортогональных между собой и ортогональных данному.

Присоединяем их по одному:

Можно взять . Далее,

Из первых двух уравнений находим . Из условия нормированности откуда

Итак, одна из искомых матриц есть

При выборе второго столбца имелся довольно широкий произвол, третий определен с точностью до множителя ±1.

Видео:Ортогональные матрицыСкачать

Ортогональная матрица: свойства, доказательство, примеры

Видео:Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать

Содержание:

Оно имеет ортогональная матрица когда указанная матрица умножается на ее транспонирование, в результате получается единичная матрица. Если обратная матрица равна транспонированной, то исходная матрица ортогональна.

Ортогональные матрицы обладают тем свойством, что количество строк равно количеству столбцов. Кроме того, векторы-строки являются единичными ортогональными векторами, а транспонированные векторы-строки также являются.

Когда ортогональная матрица умножается на векторы векторного пространства, она дает изометрическое преобразование, то есть преобразование, которое не изменяет расстояния и сохраняет углы.

Типичным представителем ортогональных матриц являются матрицы вращения. Преобразования ортогональных матриц в векторном пространстве называются ортогональные преобразования.

Геометрические преобразования вращения и отражения точек, представленных их декартовыми векторами, выполняются путем применения ортогональных матриц к исходным векторам для получения координат преобразованных векторов. По этой причине ортогональные матрицы широко используются в обработке компьютерной графики.

Видео:Лекция 2, Векторные и матричные нормы, унитарные матрицы, SVDСкачать

Свойства

Массив M ортогонален, если умножить на его транспонирование M Т возвращает единичную матрицу я. Точно так же произведение транспонированной ортогональной матрицы на исходную матрицу приводит к единичной матрице:

М М Т = M Т M = I

Как следствие предыдущего утверждения, мы имеем, что транспонированная ортогональная матрица равна ее обратной матрице:

M Т = M -1 .

Набор ортогональных матриц размерности п х п образуют группу ортогональных О (п). И подмножество О (п) ортогональных матриц с определителем +1 образуют Группа унитарных специальных матриц SU (n). Групповые матрицы Солнце) матрицы, которые производят линейные преобразования вращения, также известные как группа вращений.

Видео:Обратные матрицы, пространство столбцов и нуль пространство | Сущность Линейной Алгебры, глава 6Скачать

Демонстрация

Мы хотим показать, что матрица ортогональна тогда и только тогда, когда векторы-строки (или векторы-столбцы) ортогональны друг другу и имеют норму 1.

Предположим, что строки ортогональной матрицы n x n являются n ортонормированными векторами размерности n. Если обозначить v1, v2,…., Vп удовлетворяются n векторов:

Где очевидно, что действительно набор векторов-строк представляет собой набор ортогональных векторов с нормой один.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Примеры

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Пример 1

Покажите, что матрица 2 x 2, в первой строке которой есть вектор v1= (-1 0) и во второй строке вектор v2= (0 1) — ортогональная матрица.

Решение: Матрица построена M и его транспонирование рассчитывается M Т :

В этом примере массив M он самотранспонирован, то есть матрица и ее транспонирование идентичны. Умножается M путем транспонирования M Т :

Подтверждено, что MM Т равна единичной матрице:

Когда матрица M умноженные на координаты вектора или точки, получаются новые координаты, соответствующие преобразованию, которое матрица выполняет для вектора или точки.

На рисунке 1 показано, как M вектор преобразования или в или’а также как M преобразовать синий многоугольник в красный многоугольник. Как M ортогонален, то это ортогональное преобразование, сохраняющее расстояния и углы.

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Пример 2

Предположим, у вас есть матрица 2 x 2, определенная в вещественных числах, заданных следующим выражением:

Найдите реальные значения к, б, c Y d такая, что матрица M — ортогональная матрица.

Решение: По определению матрица ортогональна, если при умножении на ее транспонирование получается единичная матрица. Помня, что транспонированная матрица получается из оригинала, заменяя строки на столбцы, получаем следующее равенство:

Выполняя матричное умножение, имеем:

Приравнивая элементы левой матрицы к элементам единичной матрицы справа, мы получаем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными a, b, c и d.

Мы предлагаем следующие выражения для a, b, c и d в терминах тригонометрических соотношений синуса и косинуса:

Благодаря этому предложению и благодаря фундаментальному тригонометрическому тождеству первое и третье уравнения автоматически удовлетворяются в равенстве матричных элементов. Третье и четвертое уравнения одинаковы и в матричном равенстве после подстановки предложенных значений они выглядят так:

что приводит к следующему решению:

В итоге для ортогональной матрицы M получены следующие решения:

Обратите внимание, что первое из решений имеет определитель +1, поэтому оно принадлежит группе SU (2), а второе решение имеет определитель -1 и, следовательно, не принадлежит к этой группе.

Видео:A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!Скачать

Пример 3

Учитывая следующую матрицу, найдите значения a и b так, чтобы у нас была ортогональная матрица.

Решение: Чтобы данная матрица была ортогональной, произведение с ее транспонированием должно быть единичной матрицей. Затем производится матричное произведение данной матрицы на ее транспонированную матрицу, дающую следующий результат:

Затем результат приравнивается к единичной матрице 3 x 3:

Во второй строке третьего столбца мы имеем (а б = 0), но к он не может быть нулевым, потому что в этом случае равенство элементов второй строки и второго столбца не будет выполнено. Тогда обязательно б = 0. Подстановка б для значения 0 имеем:

Затем решается уравнение: 2а ^ 2 = 1, решениями которого являются: + ½√2 и -½√2.

Принимая положительное решение для к Получается следующая ортогональная матрица:

Читатель может легко убедиться, что векторы-строки (а также векторы-столбцы) ортогональны и унитарны, то есть ортонормированы.

Видео:Хаттуша. 1 часть. Параметры отверстий блоков Нижнего города. Организатор @antik_ruinsСкачать

Пример 4

Докажите, что матрица К чьи векторы-строки v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) Y v3 = (0 0 -1) является ортогональной матрицей. Дополнительно узнайте, как преобразуются канонические базовые векторы I J K к векторам u1, u2 Y u3.

Решение: Следует помнить, что элемент (i, j) матрицы, умноженный на его транспонирование, является скалярным произведением вектора строки (i) на вектор столбца (j) транспонирования. Кроме того, это произведение равно дельте Кронекера в случае, если матрица ортогональна:

В нашем случае это выглядит так:

v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1

v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1

v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1

v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0

v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0

v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0

v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0

При этом показано, что это ортогональная матрица.

В дальнейшем u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) и, наконец, u3 = A k = (0, 0, -1)

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Ссылки

Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пройти публикацию.
Биркгоф и Маклейн. (1980). Современная алгебра, под ред. Висенс-Вивес, Мадрид.
Кастелейро Вильяльба М. (2004) Введение в линейную алгебру. Редакция ESIC.
Дэйв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию для студентов. Издательство Кембриджского университета.
Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
Википедия. Ортогональная матрица. Получено с: es.wikipedia.com
Википедия. Ортогональная матрица. Получено с: en.wikipedia.com

20 фильмов о зависимости, которые стоит посмотреть