Как найти большую дугу окружности если известна меньшая и угол (8 видео)

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая и угол

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.

∠ AOB = 18°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 18/360 = 1/20 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/20 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 19/20 окружности.

1/20 окружности соответствует длине дуги, равной 5. Тогда длина большей дуги равна 5*19 = 95.

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги окружности.

∠ AOB = 40°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 40/360 = 1/9 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/9 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 8/9 окружности.

1/9 окружности соответствует длине дуги, равной 50. Тогда длина большей дуги равна 50*8 = 400.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB получим:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Тогда диаметр равен 2R = 2*45 = 90.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 134° и ∠OAB = 75°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

∠ABC — вписанный, а значит равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому большая дуга AC = 2*134 = 268°.

Тогда дуга ABC = 360° — 268° =92°.

∠AOC = 92°,так как он является центральным углом и опирается на дугу ABC.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, откуда получаем:

Содержание

Как найти длину дуги окружности
Чему равна длина дуги окружности?
Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?
Пример задачи средней сложности с применением данной формулы
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
📺 Видео

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

Как найти длину дуги окружности

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

l — длина дуги окружности;
π — число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
r — радиус данной окружности;
α — величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно — 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество «кусков пирога», которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m — это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом: