Касательная к двум пересекающимся окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Касательная к двум пересекающимся окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиКасательная к двум пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойКасательная к двум пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум пересекающимся окружностямКасательная к двум пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностейКасательная к двум пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахКасательная к двум пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностейКасательная к двум пересекающимся окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямКасательная к двум пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямКасательная к двум пересекающимся окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейКасательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Касательная к двум пересекающимся окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Касательная к двум пересекающимся окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Касательная к окружности

Касательная к двум пересекающимся окружностям

О чем эта статья:

Видео:Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Общие касательные

Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

внешние общие касательные

При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

внутренние общие касательные

Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.

Касательная к двум пересекающимся окружностям

Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.

🌟 Видео

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).
Поделиться или сохранить к себе: