Ортогонализировать систему векторов i (7 видео)

97. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональный и ортонормированный базис

Определение 1. Два вектора A и B из E Называются ортогональными, Если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Система ненулевых векторов B1, B2, . BM называется Ортогональной системой векторов, если различные векторы этой системы попарно ортогональны: BIBJ = 0 (I, J = 1, 2,…, M; I ≠ J).

Теорема 1. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть A1, A2 , . AK — Ортогональная система ненулевых векторов из V. Доказывая линейную независимость системы A1, A2 , . AK допустим, что выполняется равенство:

Скалярно умножим обе части этого равенства на AI , I = 1, 2, . K, получим в силу свойств 1, 2

В силу ортогональности системы отсюда находим aI(AIAI) = 0 . Так как AI ≠ 0 и скалярное произведение невырожденное, то AIAI ≠ 0. Таким образом

AI = 0 для всех I = 1, 2, . K. Таким образом система векторов A1, A2 , . AK линейно независима.

Теорема 2. Для любой линейно независимой системы векторов A1, A2, . AM существует ортогональная система векторов B1, B2, . BM таких, что каждый вектор BJ (J = 1, 2,…, M) линейная комбинация векторов BJ (J = 1, 2,…, J).

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по K. При K =1 вторая система состоит из одного вектора B1 ≠ 0 и поэтому ортогональна. Предположим, что теорема справедлива для K-1 векторов A1, A2 , . AK-1, т. е. и поэтим векторам найдена ортогональная система ненулевых векторов B1, B2 , . BK-1 с указанными выше свойствами. Докажем утверждение для K векторов. Для этого ищем вектор BK в виде:

Где значения коэффициентов b1 , b2 . , bK-1 находим из условия ортогональности BK векторам B1, B2 , . BK-1:

Которое можно записать в виде

Так как по предположению BJBI = 0 при всех I = 1, 2, . K —1, I ≠ J, то находим

При таком выборе коэффициентов aI вектор BK ортогонален векторам B1, B2 , . BK-1 и полученная ситема векторов B1, B2 , . BK ортогональна.

Отсюда следует, что система A1, A2 , . AK линейно зависима, а это противоречит условию.

Определение 3. Базис пространства En называется Ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис E1, E2, . EN называется Ортонормированным, если все его векторы единичную длину.

Теорема 4. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортогональным базисом.

Теорема 5. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Теорема 6. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Определение 7. Вектор A евклидова пространства называется Нормированным, если его длина равна единице, т. е. |A| =1.

Определение 8. Ортогональный базис евклидова пространства En называется Ортонормированным, если все вектора базиса нормированные, т. е. базис Е1, E2, . еN ортонормированный, если выполняются условия:

Теорема 7. Любое конечномерное евклидово пространство Еn обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Скалярное произведение в евклидовом пространстве невырожденное. Поэтому по следствю теоремы 2 Еn Обладает ортогональным базисом B1, B2 , . BN . Тогда легко показать, что система векторов

Е1 = , E2 = , . еN =

— линейно независима. Она образует ортонормированный базис Еn. Действительно,

ЕI×EJ =,

ЕI×EI =,

Пример 1. Ортогонализовать систему векторов A1 = (1, 0, 0) , A2 = =(-1,1, 0), A3 = (4, -2, 2) (скалярное произведение определено в примере 1). Пусть B1 = (1, 0, 0).

И ищем V2 = (-1, 1, 0), V3 = (4, -2, 2) линейно независима и образует базис пространства R3

Содержание

Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства
Свойства ортогональных векторов
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Ортогонализировать систему векторов i
4.2 Ранг системы векторов
4.3 Ортогональные системы векторов
4.4 Ортогонализация системы векторами
4.5 Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
4.6 Задания
💡 Видео

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Ортогональные векторы евклидова пространства и их свойства

Два вектора [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными) , если их скалярное произведение равно нулю: [math]langle mathbf,mathbfrangle[/math] .

Система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. [math]langle mathbf_i, mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Система векторов [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] называется ортонормированной , если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т.е.

Говорят, что вектор [math]mathbf[/math] ортогонален (перпендикулярен) множеству [math]M[/math] , если он ортогонален каждому вектору из [math]M[/math] . Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра [math](perp)[/math] .

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Свойства ортогональных векторов

1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.

2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

В самом деле, пусть векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

Умножим обе части равенства скалярно на вектор [math]mathbf_1:[/math]

Следовательно, [math]lambda_1cdot|mathbf_1|^2=0[/math] . Так как [math]mathbf_1ne mathbf[/math] , то [math]lambda_1=o[/math] . Аналогично доказываем, что [math]lambda_2=ldots= lambda_k=0[/math] , т.е рассматриваемая линейная комбинация тривиальная. Значит, ортогональная система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно независима.

3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.

4. Если вектор [math]mathbf[/math] ортогонален каждому вектору системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то он также ортогонален и любой их линейной комбинации. Другими словами, если [math]mathbfperp mathbf_i,

i=1,ldots,k[/math] , то [math]mathbfperp operatorname (mathbf_1,ldots, mathbf_k)[/math] .

5. Если вектор [math]mathbf[/math] ортогонален подмножеству [math]M[/math] евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т.e. [math]mathbfperp M

6. Если [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] — ортогональная система векторов, то

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.

Видео:Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ПримерСкачать

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Рассмотрим следующую задачу. Дана линейно независимая система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] векторов конечномерного евклидова пространства. Требуется построить ортогональную систему [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:

Решение задачи находится при помощи процесса ортогонализации Грама–Шмидта , выполняемого за [math]k[/math] шагов.

1. Положить [math]mathbf_1=mathbf_1[/math] .

2. Найти [math]mathbf_2=mathbf_2-alpha_cdot mathbf_1[/math] , где [math]alpha_= frac<langle mathbf_2, mathbf_1rangle><langle mathbf_1, mathbf_1 rangle>[/math] .

3. Найти [math]mathbf_3=mathbf_3-alpha_ mathbf_1-alpha_ mathbf_2[/math] , где [math]alpha_=frac<langle mathbf_3,mathbf_1 rangle><langle mathbf_1, mathbf_1rangle>,

4. Найти [math]mathbf_k=mathbf_k-sum_^alpha_mathbf_i[/math] , где [math]alpha_= frac<langle mathbf_k,mathbf_irangle><langle mathbf_i, mathbf_irangle>,

Поясним процесс ортогонализации. Искомый на втором шаге вектор [math]mathbf_2[/math] представлен в виде линейной комбинации [math]mathbf_2=mathbf_2-alpha mathbf_1[/math] . Коэффициент [math]alpha[/math] подберем так, чтобы обеспечить ортогональность векторов [math]mathbf_2[/math] и [math]mathbf_1[/math] . Приравняем нулю скалярное произведение этих векторов [math]langle mathbf_2,mathbf_1rangle= langle mathbf_2,mathbf_1rangle- alpha langle mathbf_1,mathbf_1rangle=0[/math] . Отсюда получаем, что [math]alpha=alpha_[/math] (см. пункт 2 алгоритма). Подбор коэффициентов [math]alpha_[/math] на j-м шаге алгоритма делается так, чтобы искомый вектор [math]mathbf_j[/math] был ортогонален всем ранее найденным векторам [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_[/math] .

1. Векторы, найденные в процессе ортогонализации, обладают следующими свойствами:

а) [math]mathbf_j perp operatorname(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_),quad j=2,ldots,k[/math] ;

б) [math]operatorname(mathbf_1)= operatorname(mathbf_1),quad operatorname(mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_)= operatorname(mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_),quad j=2,ldots,k[/math] .

Первое свойство следует из свойства 4 ортогональных векторов. Второе свойство следует из того, что каждый вектор системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_[/math] линейно выражается через векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_[/math] , и наоборот.

2. В процессе ортогонализации любой вектор [math]mathbf_j[/math] можно заменить на коллинеарный ему ненулевой вектор [math]lambdacdot mathbf_j[/math] . При этом свойства, перечисленные в пункте 1, не нарушаются.

3. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_[/math] векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы. Действительно, если подсистема math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_[/math] линейно зависима, то [math]mathbf_jin operatorname (mathbf_1,ldots,mathbf_)[/math] . Тогда вектор [math]mathbf_j=mathbf_j-sum_^alpha_ mathbf_i[/math] одновременно удовлетворяет двум условиям [math]mathbf_jperp operatorname(mathbf_1,ldots, mathbf_)[/math] и [math]mathbf_jin operatorname(mathbf_1,ldots,mathbf_)[/math] . Значит, это нулевой вектор [math]mathbf_i=mathbf[/math] .

Поэтому в данном случае формулы вычисления коэффициентов [math]alpha_[/math] на j-м шаге следует записывать в виде:

В остальном процесс ортогонализации остается неизменным.

4. Процесс ортогонализации можно дополнить процессом нормировки, разделив каждый вектор ортогональной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] на его длину:

В результате получим ортонормированную систему [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , отвечающую условию [math]operatorname(mathbf_1, ldots, mathbf_k)= operatorname(mathbf_1,ldots,mathbf_k)[/math] . Если исходная система векторов является линейно зависимой, то среди векторов ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] будут нулевые. Чтобы получить ортонормированную систему, нулевые векторы следует исключить, а остальные векторы нормировать.

Пример 8.18. Даны системы векторов евклидовых пространств:

а) [math]x=begin1\0end!,quad y=begin2\0end!,quad z=begin0\1end[/math] — элементы пространства [math]mathbb^2[/math] со скалярным произведением (8.26):

p_3(x)=x^2[/math] — элементы пространства [math]C[-1;1][/math] со скалярным произведением (8.28):

Провести ортогонализацию данных векторов.

Решение. а) Заметим, что система векторов [math]x,,y,,z[/math] линейно зависимая, так как [math]x[/math] и [math]y[/math] пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонализации Грама–Шмидта с учетом пункта 3 замечаний 8.11.

1. Полагаем [math]mathbf=x[/math] .

Проверим условие ортогональности [math]langle mathbf,mathbfrangle= 2cdot1cdot left(-fracright)+ 1cdot1+ 0cdotleft(-fracright)+0cdot1=0[/math] .

Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор [math]mathbf=mathbf[/math] , а остальные нормируем (см. пункт 4 замечаний 8.11):

Таким образом, для системы трех векторов [math]x,,y,,z[/math] построена ортогональная система из трех векторов [math]mathbf,mathbf,mathbf[/math] и ортонормированная система из двух векторов [math]widehat<mathbf>,widehat<mathbf>[/math] . Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством [math]mathbb^2[/math] ).

б) 1. Полагаем [math]q_1(x)=p_1(x)=1[/math] .

и находим [math]q_3(x)= x^2-alpha_cdot1-alpha_cdot x=x^2-frac[/math] .

Получили ортогональные многочлены [math]q_1(x)=1,

q_3(x)=x^2-frac[/math] . Выполним нормировку:

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

Ортогонализировать систему векторов i

Базисом системы векторов а₁, а₂, …, а_n называется такая ее часть b₁, b₂, …, b_r (каждый из векторов b_r является одним из векторов а₁, а₂, …, а_n ), которая удовлетворяет следующим условиям:

1) b₁, b₂, …, b_r– линейно независимая система векторов;

Замечание 1. В линейном пространстве, вообще говоря, бесконечное множество базисов, но если пространство n-мерное, то число векторов в каждом базисе одно и то же и равно n.

Замечание 2.Если к любому базису добавить ненулевой вектор, то мы получим уже линейно зависимую систему.

Замечание 3.Если диагональная система векторов является частью системы m–мерных векторов а₁, а₂, …, а_n, то диагональная система является базисом системы векторов.

Замечание 4.Каждую линейно независимую часть а₁, а₂, …, а_k системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Замечание 5.Каждый вектор системы а₁, а₂, …, а_n единственным образом разлагается по векторам ее базиса.

Теорема. Пусть дана система векторов а₁, а₂, …, а_n.

Рассмотрим систему уравнений

и ее общее решение

1) векторы, соответствующие диагональной части системы a₁‘, a₂‘, …, a_n‘, образуют базис системы векторов а₁, а₂, …, а_n.

2) вектор a_j разлагается по найденному в первом пункте базису с теми же координатами, с которыми вектор a_j‘ разлагается по диагональной части системы a₁‘, a₂‘, …, a_n‘.

Данная теорема позволяет сформулировать алгоритм построения базиса данной системы векторов а₁, а₂, …, а_n:

1) выписать систему уравнений

и методом Гаусса найти ее общее решение

2) найти диагональную часть системы векторов a₁‘, a₂‘, …, a_n‘

3) векторы системы а₁, а₂, …, а_n, соответствующие диагональной части системы a₁‘, a₂‘, …, a_n‘, образуют базис данной системы векторов а₁, а₂, …, а_n.

Пример. Найти базис системы векторов а₁ = (1, 1, 2), а₂ = (3, 1, 2), а₃ = (1, 2, 1), а₄ = (2, 1, 2) и все векторы разложить по базису.

Рассмотрим систему уравнений

и методом Гаусса найдём её решение

Общее решение системы имеет вид:

Разложим теперь а₄ по базису а₁, а₂ , а₃. Для этого сначала разложим соответствующий вектор a₄‘ по диагональной системе a₁‘, a₂‘ , a₃‘, имея в виду, что коэффициентами разложения векторов по диагональной системе являются их координаты:

Вектор a₁‘ разлагается по диагональной системе a₁‘, a₂‘ , a₃‘ следующим образом

Пример. Найти базис системы векторов

и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису. Рассмотрим систему уравнений

и методом Гаусса найдём её решение

Так как после выполнения преобразований система не содержит 4 уравнения, она является разрешенной.

Разложим теперь а₂ и а₅ по базису а₁, а₃, а₄. Для этого сначала разложим соответствующие вектора а₂‘ и а₅‘ по диагональной системе a₁‘, a₃‘ , a₄‘ , имея в виду, что коэффициентами разложения векторов по диагональной системе являются их координаты:

4.2 Ранг системы векторов

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Ранг системы векторов а₁, а₂, …, а_n будем обозначать символом r(а₁, а₂, …, а_n).

Отметим простейшие свойства системы векторов:

1. Ранг системы векторов не превосходит числа векторов в системе.

2. Если система векторов линейно зависима, то ее ранг строго меньше количества векторов в системе.

3. Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количеству векторов в системе.

4. Пусть ранг системы а₁, а₂, …, а_n равен r , тогда каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является базисом. Отсюда следует, что система а₁, а₂, …, а_n имеет столько различных базисов, сколько она содержит различных линейно независимых частей из r векторов.

При помощи метода Гаусса можно найти все базисы системы векторов.

4.3 Ортогональные системы векторов

Вектора a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Ясно, что нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Ненулевые вектора ортогональны, если угол между ними равен 90°.

Система векторов а₁, а₂, …, а_n называется ортогональной, если любые два вектора a_i и a_j (i ≠ j) ортогональны.

Важным примером ортогональной системы является диагональная система векторов.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1. Итак, для ортонормированной системы а₁, а₂, …, а_n

4.4 Ортогонализация системы векторами

Покажем, что каждую линейно независимую систему векторов можно преобразовать в ортогональную систему. В основе построения ортогональной системы, лежит понятие ортогональной составляющей вектора относительно системы векторов. Вектор

называется ортогональной составляющей вектора а относительно ортогональной системы ненулевых векторов b₁, b₂, …, b_n.

Ортогональная составляющая а 0 вектор а относительно ортогональной системы не нулевых векторов b₁, b₂, …, b_n ортогональна каждому вектору этой системы. Действительно:

Пример. Найти ортогональную составляющую вектора а=(1, 1, 1, -1) относительно ортогональной системы b₁=(1, 0, 1, 0); b₂=(-1, 1, 1, 1); b₃=(1, 1, -1, 1). Имеем:

4.5 Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Дана линейно независимая система векторов

часть, которой ортогональна, обозначим b_l+1 ортогональную составляющую вектора а_l+1 относительно ортогональной системы b₁, b₂, …, b_l . Тогда

2. Система векторов (2) линейно независима, а ее часть b₁, b₂, …, b_l, b_l+1 – ортогональна.

Используя, понятие ортогональной составляющей, опишем процесс превращения линейно независимой системы а₁, а₂, …, а_n в ортогональную систему b₁, b₂, …, b_n ненулевых векторов, который называется ортогонализацией системы а₁, а₂, …, а_n.

Этот процесс состоит из n–шагов, n–число векторов в исходной системе а₁, а₂, …, а_n.

1 шаг. Полагаем b₁=а₁ и получаем систему

2 шаг. Заменим в системе (3) вектор а₂ ортогональной составляющей относительно b₁, и получим систему:

Согласно шагам ортогонализации система (4) линейно независима, а ее часть b₁, b₂–ортогональна.

Предположим, что уже построена линейно независимая система

На k-том шаге k = 3, n заменим в системе (5) вектор a_k его ортогональной составляющей относительно системы b₁, b₂, …, b_k-1 и получим систему b₁, …,b_k, a_k+1, …, a_n.

После выполнения n–го шага получим линейно независимую и ортогональную систему векторов b₁, b₂, …, b_n.

Замечание. Если исходная система а₁, а₂, …, а_n ортогональна, то ортогонализация не изменит ее.

Пример. Подвергнуть ортогонализации независимую систему векторов

Теорема. Если вектор b разлагается по ортогональной системе а₁, а₂, …, а_n ненулевых векторов,

то коэффициенты разложения могут быть рассчитаны так:

4.6 Задания

1. Найти базис, ранг системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису (упражнение 1 и 2).

2. Найти базис системы векторов А1, А2, А3, А4, А5 (или А1, А2, А3, А4 в зависимости от варианта), содержащий векторы А2 и А3, и все векторы разложить по базису (упражнение 3).

3. Доказать, что линейно зависимая система ненулевых векторов содержит два различных базиса.

4. Установить, что если система ненулевых векторов имеет только один базис, то она линейно независима.

5. Вектор А1 разлагается по остальным векторам системы А1, А2, …, Аn, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что система А1, А2, …, Аn обладает базисом, который не содержит вектора А1.

6. Дана система векторов А1=(1,1,0,0), А2=(1,0,1,0), А3=(1,0,0,1), А4=(0,1,1,0), А5=(0,1,0,1), А6=(0,0,1,1). Найти ранг и базис системы векторов, содержащий векторы А1 и А2, а затем перейти к другому базису, у которого единственными общими векторами с первым базисом являются векторы А1 и А2.

7. Найти все базисы системы векторов А1=(1,0,0), А2=(1,0,1), А3=(0,-1,1), А4=(1,-1,1).

8. Доказать, что ранг системы А1+В1, …, Аn+Вn не превосходит ранга системы векторов А1, …, Аn, B1, …, Bn.

9. Найти ранг следующих систем векторов:
а) А1=(2,1,1), А2=(2,2,-2), А3=(1,0,2); б) А1=(1,1,2), А2=(1,2,-1), А3=(2,2,1);
в) А1=(1,2,3,1), А2=(2,0,2,0), А3=(3,2,5,1), А4=(1,0,1,-2); г) А1=(0,-2,-1,4), А2=(2,0,-3,1), А3=(1,3,0,-2), А4=(-4,-1,2,0);

Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.

10. Дана ортогональная система векторов А1=(1,1,1,1), А2=(1,-1,-1,1), А3=(1,-1,1,-1). Выяснить, разлагается ли вектор В по системе А1, А2, А3.
а) В=(2,0,4,-2); б) В=(2,1,-1,2).

11. Найти ортогональную составляющую вектора В относительно ортогональной системы векторов А1, А2, А3 (упражнение 4)

12. Применяя ортогонализацию, построить ортогональную систему векторов (упражнение 5):
а) А1=(1,2,1,3), А2=(4,1,1,1), А3=(3,1,1,0); б) А1=(1,2,2,-1), А2=(1,1,-5,3), А3=(3,2,8,-7);
в) А1=(1,1,-1,-2), А2=(5,8,-2,-3), А3=(3,9,3,8); г) А1=(2,1,3,-1), А2=(7,4,3,-3), А3=(1,1,-6,0), А4=(5,7,7,8);

Упражнения 4, 5 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.