Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O1O2 на 180° или прямоугольников ABO2O1/O1O2CD вокруг стороны O1O2 на 360°.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Объём цилиндра

Основные элементы цилиндра

  • Основания цилиндра – два одинаковых по размеру/площади круга с центрами в точках O1 и O2.
  • R – радиус оснований цилиндра, отрезки AD и BC – диаметры (d).
  • O1O2 – ось симметрии цилиндра, одновременно является его высотой (h).
  • l (AB, CD) – образующие цилиндра и одновременно с этим стороны прямоугольника ABCD. Равны высоте фигуры.

Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

  • длина данного прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ( 2πR );
  • ширина равна высоте/образующей цилиндра.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Видео:№537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длинеСкачать

№537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Ц илиндр, получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

  • Цилиндр состоит из двух кругов и множества отрезков .
  • Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
  • Определения элементов цилиндра :

Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях

Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями его оснований.

Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).

Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники

Образующая цилиндра — это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.

Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .

Радиус цилиндра – это радиус его основания.

Прямой цилиндр – это цилиндр, образующие которого перпендикулярны основанию.

Равновеликий цилиндр – цилиндр, у которого высота равна диаметру (показать равновеликий цилиндр: кнопкой со значком руки перевести модель обратно в интерактивный режим и изменить значение высоты и радиуса у предложенной модели так, чтобы ).

    Вывод формулы площади боковой поверхности.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания. Получим формулы для вычисления площадей боковой S б и полной S п поверхностей: S б = H · C = 2π RH , S п = S б + 2 S = 2π R ( R + H ).

Задача № 1. Вычислить площадь боковой и полной поверхности цилиндра, у которого радиус равен 3 см, а высота 5 см (число пи и ответ округлить до целых).

2. Высота цилиндра равна h , радиус основания R . Найти площадь сечения плоскостью, проведенной параллельно оси цилиндра на, расстоянии a от нее.

Домашнее задание: 522, 524, 526.

Р.S/ кому интересно попрбуйте пройти по ссылке и посмотреть электронный ресурс про цилиндр

для начала на странице установите у себя на ПК модуль ОМS и закачайте модуль. На выскочившей таблице кликните воспроизвести. А дальше по порядку просмотрите все странички.
ВСЕМ СПАСИБО.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Геометрические тела. Цилиндр.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндр − это геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и 2-мя плоскостями, которые параллельны и пересекают ее.

ABCDEFG и abcdefg — это основания цилиндра. Расстояние между основаниями (KM)высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, которые идут параллельно к основанию, будут являться кругами одного радиуса. Сечения, которые параллельны образующим цилиндра — это пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, не параллельные ни основанию, ни образующим, являются эллипсами.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.

Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.

Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.

Призма – это частный случай цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Формулы нахождения элементов цилиндра.

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:

Объем прямого кругового цилиндра:

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R, минимальной высоты h1 и максимальной высоты h2.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:

Площадь оснований скошенного цилиндра:

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Площадь полной поверхности скошенного цилиндра:

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Объем скошенного цилиндра:

Sбок — площадь боковой поверхности;

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Цилиндр - расчёт площади, объёма.

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O1O2 на 180° или прямоугольников ABO2O1/O1O2CD вокруг стороны O1O2 на 360°.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра

Основные элементы цилиндра

  • Основания цилиндра – два одинаковых по размеру/площади круга с центрами в точках O1 и O2.
  • R – радиус оснований цилиндра, отрезки AD и BC – диаметры (d).
  • O1O2 – ось симметрии цилиндра, одновременно является его высотой (h).
  • l (AB, CD) – образующие цилиндра и одновременно с этим стороны прямоугольника ABCD. Равны высоте фигуры.

Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

  • длина данного прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ( 2πR );
  • ширина равна высоте/образующей цилиндра.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс

Понятие цилиндра

Урок 12. Геометрия 11 класс ФГОС

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Конспект урока «Понятие цилиндра»

На этом уроке мы вспомним понятие цилиндра. Дадим его определение. Рассмотрим, какими элементами обладает цилиндр.

Вокруг нас существует множество объектов, которые являются физическими моделями цилиндра, или проще говоря, имеют форму цилиндра.

Например, кружки и стаканы имеют форму цилиндра. Карандаши, шляпы, пуфики, барабан также имеют форму цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Некоторые архитектурные сооружения.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндра, подчеркивают их гармонию и красоту.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Итак, перейдём к самому цилиндру. Рассмотрим произвольную плоскость Что является диаметр основания окружности цилиндраи окружность Что является диаметр основания окружности цилиндрас центром О радиуса Что является диаметр основания окружности цилиндра, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности Что является диаметр основания окружности цилиндрапроведем прямую, перпендикулярную к плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности.

Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра, то они параллельны друг другу.

Рассмотрим теперь плоскость Что является диаметр основания окружности цилиндра, параллельную плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра. Отрезки образующих, заключённые между плоскостями Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра, заполняют окружность Что является диаметр основания окружности цилиндра. Концы же, расположенные в плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра, заполняют окружность Что является диаметр основания окружности цилиндрас центром Что является диаметр основания окружности цилиндрарадиуса Что является диаметр основания окружности цилиндра, где Что является диаметр основания окружности цилиндра– точка пересечения плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндрас осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости Что является диаметр основания окружности цилиндра, получается из окружности Что является диаметр основания окружности цилиндрапараллельным переносом на вектор Что является диаметр основания окружности цилиндра. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор Что является диаметр основания окружности цилиндра. окружность Что является диаметр основания окружности цилиндраперейдёт в равную ей окружность Что является диаметр основания окружности цилиндрарадиуса Что является диаметр основания окружности цилиндрас центром в точке Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, называется цилиндром.

Можно ещё услышать и такое определение: прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности.

Назовём элементы цилиндра.

Круги называются основаниями цилиндра.

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра.

А образованная ими часть цилиндрической поверхности это есть боковая поверхность цилиндра.

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Как уже отмечалось ранее, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра.

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон на Что является диаметр основания окружности цилиндра. Итак, если взять некоторый прямоугольник Что является диаметр основания окружности цилиндраи вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны Что является диаметр основания окружности цилиндра, то в результате получим тело, которое и называется цилиндром.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

В этом случае основания цилиндра образуются вращением сторон Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, а боковая поверхность цилиндра образуется вращении стороны Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Теперь рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

В самом деле, такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, которое также является цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Замечание. На практике очень часто встречаются предметы, которые имеют форму сложных цилиндров.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

На экране, на первом рисунке вы видите цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований, такой цилиндр называют еще наклонным цилиндром. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только прямые круговые цилиндры.

Задача: точка Что является диаметр основания окружности цилиндра– середина образующей Что является диаметр основания окружности цилиндрацилиндра, центрами оснований которого являются точки Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра. Верно ли, что Что является диаметр основания окружности цилиндра?

Решение: рассмотрим Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Образующая Что является диаметр основания окружности цилиндраперпендикулярна плоскостям, в которых лежат основания цилиндра. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой лежащей в этих плоскостях. Прямые Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндраявляются радиусами цилиндра и лежат в плоскостях оснований. Значит, прямая Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра. Отсюда получаем, что Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра– прямоугольные.

Так как основаниями цилиндра являются равные круги, то Что является диаметр основания окружности цилиндра, как радиусы.

Так как по условию задачи точка Что является диаметр основания окружности цилиндра– середина образующей Что является диаметр основания окружности цилиндрацилиндра, то отрезки Что является диаметр основания окружности цилиндра. Значит, Что является диаметр основания окружности цилиндраравны по двум катетам. Отсюда вытекает, что Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Ответ: Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Задача: точка Что является диаметр основания окружности цилиндра– центр основания цилиндра. Отрезок Что является диаметр основания окружности цилиндра– диаметр другого его основания. Вычислите площадь Что является диаметр основания окружности цилиндра, если радиус цилиндра равен Что является диаметр основания окружности цилиндрасм, а его высота – Что является диаметр основания окружности цилиндрасм.

Решение: напомним, что площадь треугольника находится по формуле Что является диаметр основания окружности цилиндра. Заметим, что высота цилиндра является и высотой нашего Что является диаметр основания окружности цилиндраи равна Что является диаметр основания окружности цилиндра. А основание треугольника есть диаметр цилиндра и равно оно двум радиусам, т.е. Что является диаметр основания окружности цилиндра(см).

Подставим в формулу площади треугольника высоту и длину основания треугольника. Посчитаем. Получим, что площадь треугольника равна Что является диаметр основания окружности цилиндра. Не забудем записать ответ.

Задача: радиус цилиндра Что является диаметр основания окружности цилиндрасм, а его высота – Что является диаметр основания окружности цилиндрасм. Вычислите площадь осевого сечения.

Решение: напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это есть длина образующей Что является диаметр основания окружности цилиндра. Следовательно, ширина осевого сечения равна Что является диаметр основания окружности цилиндра. Длина сечения равна диаметру основания цилиндра. И значит, равна Что является диаметр основания окружности цилиндра(см).

Теперь вычислим площадь осевого сечения. Она равна Что является диаметр основания окружности цилиндра(Что является диаметр основания окружности цилиндра).

На этом уроке мы вспомнили понятие цилиндра. Узнали, что тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, называется цилиндром. Или прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями Что является диаметр основания окружности цилиндраи Что является диаметр основания окружности цилиндра, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Назвали элементы цилиндра. А также рассмотрели сечения цилиндра различными плоскостями.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. ( Вспомните : наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть. )

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180 ° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники .

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB 1 A 1 и его ось OO 1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O 1 и осями — отрезки АВ и A 1 В 1 . Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Говорят, что плоскость α касается цилиндра ( цилиндрической поверхности ) по образующей DD 1 , каждая точка образующей DD 1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD 1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки , т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна π R 2 , поэтому S осн = π R 2 . Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

S полн = S бок + 2 S осн = 2 π Rh + 2 π R 2 = 2 π R ( R + h ) .

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156) . Тогда

S бок = 2 π DC • BC . (1)

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: S бок = 2 π EF • AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17 . 4 . Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим , соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.

При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а ); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б ); правильная треугольная призма (рис. 159, в ); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г ).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a Что является диаметр основания окружности цилиндра. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 160); CDD 1 C 1 — осевое сечение; OO 1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD 1 C 1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD 1 С 1 находим CD = Что является диаметр основания окружности цилиндра= a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра. Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра, СЕ = Что является диаметр основания окружности цилиндраR = Что является диаметр основания окружности цилиндраa. Откуда

S осн = Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра;
S бок = 3 S ABB 1 A 1 = 3 AB • BB 1 = 3 • Что является диаметр основания окружности цилиндра• a = Что является диаметр основания окружности цилиндра.

S полн = S бок + 2 S осн = Что является диаметр основания окружности цилиндра+ 2 • Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Ответ: a) Что является диаметр основания окружности цилиндра; Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндра

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решени е. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO 1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB 1 боковой грани ABB 1 A 1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB 1 и OO 1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB 1 A 1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF 1 E 1 . Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ ), так как OK ⟂ ( ABB 1 ) и ( ABB 1 ) || ( EFF 1 ) .

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD 1 B 1 — квадрат со стороной BD = ВВ 1 = a. Тогда АВ = Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра. Значит, ОK = АЕ = Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра— искомое расстояние между прямыми ОО 1 и АВ 1 .

Обозначим ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ϕ , M = AB 1 ∩ A 1 B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB 1 A 1 прямую KK 1 || OO 1 . Тогда ϕ = ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ∠ ( KK 1 ; AB 1 ) . Так как KK 1 || OO 1 , OO 1 ⟂ ( ABC ) , то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = Что является диаметр основания окружности цилиндра, KМ = Что является диаметр основания окружности цилиндра. Значит, tg ϕ = Что является диаметр основания окружности цилиндра= Что является диаметр основания окружности цилиндра, откуда ϕ = arctg Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Ответ: б) Что является диаметр основания окружности цилиндра, arctg Что является диаметр основания окружности цилиндра.

Что является диаметр основания окружности цилиндраВо многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n- угольных призм при n → + ∞ .

Действительно, S бок. пов. призм = h • P осн. призм , где Р осн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: S бок = 2 π Rh. Что является диаметр основания окружности цилиндра

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n ».

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π • R 2 : R 2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: V цил : V парал = π : 1 или V цил : ( R 2 • h ) = π : 1, откуда

V цил = π • R 2 • h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Что является диаметр основания окружности цилиндра

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = Что является диаметр основания окружности цилиндраπ • R 2 • h.

Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:

V= Что является диаметр основания окружности цилиндраπ • R 2 • ( a + b ),

Что является диаметр основания окружности цилиндра

где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.

💡 Видео

Цилиндр, вытянутый вдоль оси Z. Урок33.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Цилиндр, вытянутый вдоль оси Z. Урок33.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА РАВНА 36п, А ДИАМЕТР ОСНОВАНИЯ РАВЕН 6. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЦИЛИНДРАСкачать

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА РАВНА 36п, А ДИАМЕТР ОСНОВАНИЯ РАВЕН 6. НАЙДИТЕ ВЫСОТУ ЦИЛИНДРА

Геометрия Задача про монаха Найти диаметр цилиндраСкачать

Геометрия Задача про монаха Найти диаметр цилиндра

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндра

Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

Егэ,11 кл. Длина окружности основания цилиндра равна 3 , высота равна 2. Найдите площадь боковой повСкачать

Егэ,11 кл. Длина окружности основания цилиндра равна 3 , высота равна 2. Найдите площадь боковой пов

№527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г,Скачать

№527. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г,
Поделиться или сохранить к себе: