- Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости
- Найти уравнение плоскости
- Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости
- Теория. Уравнение плоскости.
- Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
- Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
- Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
- Уравнение плоскости онлайн
- Предупреждение
- Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n
- 💡 Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости
Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.
Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать
Найти уравнение плоскости
Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:
В задаче известны:
Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости
- Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.
Теория. Уравнение плоскости.
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки
В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:
- Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
| x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
| x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
| x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Если заданы координаты точки A( x 1, y 1, z 1) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать
Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.
Видео:Метод координат Урок №2 2 Нахождение уравнения плоскости по трем точкамСкачать
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .
Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .
По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.
Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
Видео:Репетитор по математике пишет уравнение плоскости по трем точкамСкачать
Уравнение плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий заданный нормаль плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости выберите вариант задания исходных данных, введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы 
и 
не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M1, M2, M3 тогда и тольно тогда, когда векторы M1M2, M1M3 и 
компланарны. Но векторы M1M2, M1M3, M1M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M1M2, M1M3, M1M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:
 |
Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M1, M2, M3:
Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).
| (1) |
Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:
 |
 |
Разложим определитель по первому столбцу:
   |
  |
 |
Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:
|
Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n
Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M0(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).
 | (2) |
Подставляя координаты векторов M0 и n в (2), получим:
💡 Видео
Уравнение плоскости по трем точкамСкачать
Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать
Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать
Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать
Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Угол между векторами | МатематикаСкачать
2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать
