Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:
| E = |
|
∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = ⓫ε1 + ⓬ε2 + ⓭ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
2α1 + 3α2 + 1α3 = 7
1α1 -2α2 -3α3 = 0
3α1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:
| X = |
|
X = 2ε1 + ε2
В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).
- 5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»
- Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.
- Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам
- Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам
- Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам
- Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам
- Теория. Разложение вектора по базису
- 📺 Видео
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»
Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор
Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.
Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:
.
Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.
Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:
.
Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).
Найти матрицу А’ оператора А:
Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.
Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :
.
.
.
Ответ: 
.
Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
.
Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:
Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.
Составим характеристическое уравнение:
Найдем собственные векторы:
1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:
Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.
2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:
Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).
Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),
В пространстве 3-мерных векторов задан оператор
Где I – базисный вектор декартовой системы координат.
Выяснить геометрический смысл этого оператора.
Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.
Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор
KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что
Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.
Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;
Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если
Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.
Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.
Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):
Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.
Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).
Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.
Составим матрицу перехода к новому базису:
Найдем матрицу, обратную к Т:
.
Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора
Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора
Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей
Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.
Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.
Характеристическое уравнение для А:
Найдем матрицу обратного оператора:
.
Соответствующее характеристическое уравнение:
Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.
Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является
Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:
В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,
Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:
Ответ: матрица квадратичной формы 
,
Собственные числа 
Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.
Канонический вид квадратичной формы:
1) во-первых, не содержит произведения Ху;
2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.
Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы
Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.
Для L1 = 1 координаты вектора R1 = <X1, Y1> определяются уравнением
Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:
Итак, базис имеет вид:
И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.
Ответ: в базисе 
квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.
Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму
8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.
Матрица преобразования координат имеет вид:
Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.
Найдем базис из нормированных собственных векторов.
Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:
Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:
Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.
Таким образом, найдено искомое преобразование.
Ответ: 
.
Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.
Матрица преобразования координат имеет вид:
Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.
Матрица перехода к базису из собственных векторов:
Подставим найденные выражения в квадратичную форму:
Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.
Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму
X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.
Матрица преобразования координат:
Для заданной квадратичной формы
Составим и решим характеристическое уравнение:
(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)
Найдем нормированные собственные векторы:
Матрица перехода к новому базису:
Задает преобразование координат:
Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:
Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.
Ответ:
Видео:Координаты в новом базисеСкачать
Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.
Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать
Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам
Выберите размерность пространства
Количество координат в векторе:
Введите значение базисных векторов:
Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:
Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам
- Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
- выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
- введите значения базисных векторов;
- введите значения вектора который нужно разложить по базису;
- Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.
Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать
Теория. Разложение вектора по базису
Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .
Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
📺 Видео
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать
Образуют ли данные векторы базисСкачать
Базис. Разложение вектора по базису.Скачать
Матрица переходаСкачать
Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать
Замена базиса. ТемаСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Семинар №4 "Замена базиса и системы координат"Скачать
Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
