Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Ваш ответ

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

решение вопроса

Видео:5.3 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

5.3 - Геометрия 7-9 класс Погорелов

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,049
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейСвойства хорд и дуг окружности
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейТеорема о бабочке

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
КругДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
РадиусДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
ХордаДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
ДиаметрДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
КасательнаяДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
СекущаяДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Окружность
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДокажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Пересекающиеся хорды
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей
Пересекающиеся хорды
Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Тогда справедливо равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:§ 5 № 1-53 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

§ 5 № 1-53 - Геометрия 7-9 класс Погорелов

Хорда перепендикулярна диаметру

Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину.

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейДано : окружность (O;R), AB — диаметр,

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ей

Докажите диаметр окружности проходящей через середину хорды перпендикулярен ейСоединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

Рассмотрим прямоугольные треугольники COP и DOP.

1) OP — общий катет.

2) CO=DO (как радиусы).

Следовательно, треугольники COP и DOP равны (по катету и гипотенузе).

Что и требовалось доказать .

Так как CO=DO (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD, а OP — его высота, проведённая к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его медианой.

Таким образом, если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину.

🌟 Видео

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хордыСкачать

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хорды

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...Скачать

[10] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит...
Поделиться или сохранить к себе: