Расстояние между вершиной треугольника и противоположной стороной называется высотой. Формально, это самый короткий отрезок между вершиной треугольника и (с возможным продлением) противоположной стороной.
Каждый треугольник имеет 3 высоты которые пересекаются в одной точке — ортоцентре. Если мы используем стандартные обозначения, в треугольнике ABC , есть три высоты: AHa, BHb, CHc . Эти три отрезка пересекаются в одной точке — ортоцентре (точка H на рисунке) треугольника. Для тупого треугольника (имеющего один угол, больше чем 90°), ортоцентр находится за пределами треугольника.
Высоты остроугольного треугольника
Ортоцентр — это точка внутри треугольника.
∠ AHB = 180 — γ = α + β
∠ BHC = 180 — α = β + γ
∠ AHC = 180 — β = α + γ
∠ AHHc = β, ∠ BHHc = α, ∠ BHHa = γ
Высоты тупоугольного треугольника
Ортоцентр находится вне треугольнка.
Две высоты также всегда лежат вне треугольника.
∠ AHHc = ∠ CBA = β
∠ HcHB = ∠ CAB = α
Правый треугольник
Высота AHa совпадает с AC.
Высота BHb совпадает с BC.
Ортоцентр H совпадает с C.
∠ ACHc = β, ∠ BCHc =α
Видео:Высота медиана биссектриса в тупоугольном треугольникеСкачать
Формулы
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
p — полуперимерт: (a + b + c)/2
Видео:Высоты в тупоугольном треугольникеСкачать
Высота треугольника
В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.
Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).
Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).
AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.
AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).
В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.
Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.
AK — высота, проведенная к стороне BC.
BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.
CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Определение и свойства высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.
Видео:КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать
Определение высоты треугольника
Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.
Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).
Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).
Видео:Как построить все высоты в тупоугольном треугольнике #shortsСкачать
Высота в разных видах треугольников
В зависимости от вида фигуры высота может:
- проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
- проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
- являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства высоты треугольника
Свойство 1
Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).
- в остроугольном треугольнике;
- в тупоугольном треугольнике;
- в прямоугольном треугольнике.
Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.
Свойство 2
При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:
- △ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
- △AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
- △ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB = ∠BFE, ∠CAB = ∠BEF).
Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.
Свойство 3
Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.
Свойство 4
Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.
🔥 Видео
Самые опасные астероиды и как с ними боротьсяСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Высота в тупоугольном треугольнике #егэ #математика #умскулСкачать
Высоты треугольника.Скачать
Задача 6 №27345 ЕГЭ по математике. Урок 38Скачать
№300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого углаСкачать
ЕГЭ 2022 планиметрия досрок ЕГЭ 2018 высоты в тупоугольном треугольникеСкачать
Точка пересечения высот треугольника.Скачать
Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать
В тупоугольном треугольнике все углы тупые. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
