- Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
- Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
- Пример вычисления угла между прямой и плоскостью
- Угол между вектором и плоскостью
- Угол между прямой и плоскостью онлайн
- Предупреждение
- Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения
- 📸 Видео
Видео:10 класс, 21 урок, Угол между прямой и плоскостьюСкачать
Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L
и уравнение плоскости
A x + B y + C z + D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу
sin φ = | | A · l + B · m + C · n | |
√ A 2 + B 2 + C 2 · √ l 2 + m 2 + n 2 |
Видео:21. Угол между прямой и плоскостьюСкачать
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид
Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
cos ψ = | | q · s | |
| s | · | q | |
Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
Видео:Угол между прямой и плоскостью. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать
Пример вычисления угла между прямой и плоскостью
Найти угол между прямой
x — 4 | = | y + 2 | = — | z — 6 |
2 | 6 | 3 |
и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
sin φ = | | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 | | = |
√ 2 2 + 6 2 + (-3) 2 · √ 1 2 + (-2) 2 + 3 2 |
= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14
Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Видеоурок "Угол между прямой и плоскостью"Скачать
Угол между вектором и плоскостью
Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.
Решение задач с доказательством.
Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:
Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.
Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.
Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).
AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)
AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)
BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)
Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):
Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).
- Находим координаты векторов.
- Вычисляем косинус угла между векторами.
- Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
- Подставляем в формулу площади.
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)
AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)
Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).
- Находим координаты векторов.
- Задаем матрицу плоскости.
- Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.
AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)
Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).
Вторая строчка — координаты первого вектора.
Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).
Четвертая заполняется аналогично первой.
Пятая — аналогично второй.
Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:
Аналогично делаем с зелеными отрезками:
Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:
= −22х −26y − 19z + 92
−22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).
P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.
Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением
14x + 6y − 27z + 51 = 0.
- Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
- Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать
Угол между прямой и плоскостью онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:21. Угол между прямой и плоскостьюСкачать
Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения
В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением
(1) |
и плоскостью P, заданной общим уравнением
Ax+By+Cz+D=0. | (2) |
где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.
Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.
Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ Вариант 2. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:
φ=0. |
0=cosψ=sinφ. |
Вариант 3. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.
cosψ=cos(90+φ)=−sinφ. | (4) |
Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то
sinφ=⃒ cosψ ⃒ | (5) |
Из определения скалярного произведения векторов имеем:
(6) |
Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ
(7) |
(8) |
Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.
Пример 1. Найти угол между прямой L:
(9) |
(10) |
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).
Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:
. | (11) |
Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:
📸 Видео
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
11 класс, 7 урок, Вычисление углов между прямыми и плоскостямиСкачать
Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Стереометрия ЕГЭ. Метод координат. Часть 2 из 5. Угол между прямой и плоскостьюСкачать
Угол наклона плоскости общего положения относительно плоскостям проекцииСкачать
Угол между векторами | МатематикаСкачать
Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать
Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ 10 классСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать
✓ Угол между плоскостями | ЕГЭ-2017. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать