Момент инерции дуги окружности (3 видео)

5.I. Вычисление статических моментов и моментов инерции

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 206, 207. Рассмотрите внимательно примеры, приведенные в указанных пунктах.

573. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпадал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем сгатический момент, совпадал с осью Ох. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится следующей формулой:

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: у —V R2—х. Тогда

574. Найти статические моменты относительно осей Ox и Oy дуги эллипса , расположен

ной в первом квадранте.

Решение. Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Ох. Из уравнения эллипса имеем

(мы берем перед корнем знак , так как по условию кривая расположена в первом квадранте).

Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Oy. Из уравнения эллипса имеем:

X = JLyW=T*-, dl = — L YbUg^ZFldy.

К, -|f VF=V? — j — /езщрг dy=

575. Найти статический момент прямоугольника с основанием а и высотой h относительно его сторон.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадала с основанием, а начало координат — с прилегающей к основанию стороной. Тогда статический момент плоского тела относительно оси Ox будет вычисляться по формуле:

В нашем случае у = h,

Статический момент относительно оси Oy вычисляется по формуле:

576. Налти статический момент фигуры, представленной на рисунке 23 относительно стороны OD1 если известно, что OA = 3 см, AB = 5 см, BC = 5 см, OF = 8см, а дуга CD есть четвертая часть окружности радиуса CF = FD = S см.

Решение. Как видно из рисунка 23, данная фигура имеет сложную форму. Разобьем это тело на простые геометрические фигуры и применим затем теорему: статический момент фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов ее частей относительно той же оси.

Выберем систему координат, как показано на рисунке 23. Легко видеть, что данную фигуру можно рассматривать как сумму дзух трапеций OABM и MBCF и одной четвертой части круга.

Координаты точек At Bt C9 Dy F определить легко: Л (0, 3), В (4, 6), С (8, 3), £>(11, 0), F( 8, 0).

Найдем уравнения прямых AB и BCt как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

уравнение прямой AB:

уравнение прямой ВС:

Так как центр F окружности лежит на оси Ox и отстоит от начала координат на расстоянии OF — 8, то уравнение окружности будет

Учитывая все вышеизложенное, найдем:

577. Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды относительно оси Ох.

Решение. Так как параметр t для одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2я, то

578. Найти момент инерции одной арки циклоиды

Относительно оси Ох. Решение. Как было показано в теоретическом курсе, момент инерции дуги относительно оси Ox вычисляется по формуле:

где —дифференциал дуги. Найдем дифференциал дуги:

579. Найти момент инерции дуги окружности

, лежащей в первом квадранте, относительно

Решение. Как известно, момент инерции кривой относительно оси Oy вычисляется по формуле:

Так как и, следо

Для вычисления Была использована

580. Найти момент инерциифигуры, вграниченной дугой полуокружности Относительно

Решение. Как известно из теоретического курса, момент инерции Ix плоского тела относительно оси Ojc равен:

где dS—элементарная площадь тела.

581. Найти статические моменты дуги параболы у2 = 2х (у > 0) относительно осей Ox и Oy от х = 0 до

582. Найти статический момент дуги астроиды х3 —2_ 2_

— j-y 3 = а 3 , лежащей в первом квадранте, относительно оси Oy.

583. Найти статический момент относительно оси Ox

584. Вычислить статический момент фигур, ограниченных следующими линиями:

COS X OT ТОЧКИ X —до точки

дуги косинусоиды у

а) у —- и у = Xi относительно оси Ох

б) у — X1 и у = Y х относительно оси Ох.

585. Вычислить статический момент фигуры, представленной на рисунке 24, где BC\AD, CKJ_AD, AB = 5, BC = 2, CK = KD = 3, AK = 6, относительно оси Ох.

586. Найти статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным а, относительно этого катета.

587. Найти момент инерции отрезка AB, где А (2; 3), В (5; 4), относительно обеих координатных осей.

588. Найти момент инерции треугольника ABC (рис. 25) относительно стороны Ь.

589. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно обеих сторон.

590. Найти момент инерции трапеции ABCD относительно ее основания AD1 если AD=а, BC = 6, высота трапеции равна h.

591. Найти момент инерции

параболического сегмента относительно основания. Основание сегмента равно а, «стрела сегмента» равна А.

Видео:Момент инерцииСкачать

Определение моментов инерции с помощью круга инерции

Формулы (2.13) для случая, когда в качестве исходных приняты главные оси, имеют простую геометрическую интерпретацию. Если ввести обозначения

то указанные формулы примут вид

Из этих формул видно, что момент инерции J_y может быть получен из выражения для / заменой а на а + 90°.

Первая и третья из формул (2.24) представляют собой параметрические уравнения окружности в координатных осях J_x, J^ с радиусом R и центром на оси / на расстоянии а от начала координат (рис. 2.20). Абсцисса произвольной точки К_х этой окружности равна осевому моменту инерции J_x относительно оси Ох, которая составляет угол ос с главной осью 1 (см. рис. 2.7). Ордината точки К_х равна центробежному моменту инерции J относительно осей Ох, Оу.

Координаты точки ^окружности, называемой полюсом, равны соответственно J_y и J_xy.

Впервые данный графический способ был предложен О. Мором для определения напряжений на наклонных площадках (см. § 4.6), и соответствующий круг называется кругом Мора для напряжений. По аналогии круг, изображенный на рис. 2.20, называется кругом инерции.

С помощью круга инерции можно графически определить моменты инерции относительно произвольных осей. При этом обычно строят круг инерции по известным моментам инерции J_x, J_y, J_xy,

вычисленным относительно произвольных осей Ох и Оу. Приведем это построение (рис. 2.21).

Тангенсы углов наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох определяются из прямоугольных треугольников ВЕК и ВАК:

На горизонтальной оси отложим OD = J_x и OB = J_y. Поделив отрезок BD пополам, получим центр круга инерции С, причем OC=(J_x + J_y)/2. Отложив из конца отрезка OB = J_y величину / = ВК со своим знаком, получим полюс К круга инерции. Проводя радиусом С К окружность и далее через полюс ^Глучи КЕ и КА, найдем величины главных моментов инерции J_l = ОЕ, /₂ = ОА и углы наклона 0Cj и ос₂ главных осей 1 и 2 к оси Ох.

С помощью приведенных на рис. 2.21 построений можно получить формулы для величин главных моментов инерции (2.12) и углов наклона главных осей (2.11). Действительно, определив из прямоугольного треугольника ВСКрадиус круга инерции

Знак минус в первой формуле объясняется тем, что угол а, является отрицательным.

Для определения величин моментов инерции J , J , J от-

носительно произвольных взаимно перпендикулярных осей Ох_< и Оу_х, наклоненных к оси Ох на угол (3, необходимо через полюс К провести под углом (3 к горизонтали ось Ох_х и перпендикулярно к ней — ось Оу_х до пересечения этих осей с окружностью в точках М и N. Можно показать, что искомые величины моментов инерции соответственно равны

В качестве иллюстрации на рис. 2.22 приведено построение круга инерции для числового примера 2.1, рассмотренного в § 2.7.

Видео:Механика | динамика | вращательное движение | момент инерции окружности | для взрослыхСкачать

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

002.gif» />=<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

002.gif» />(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

а координаты центра масс <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

009.gif» /> и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

011.gif» /> — по формулам

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

где l— масса дуги, т. е.

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.

◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

◄Вследствие симметрии <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

026.gif» />. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

028.gif» />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Отсюда <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

032.gif» />, т.е. центр масс C имеет координаты C<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

036.gif» /> (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

038.gif» />(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?