В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Пусть стороны трапеции равны a, b, c, d. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d = 24. Длина средней линии равна полусумме длин оснований: 24/2 = 12.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны
Пусть окружность вписана в четырехугольник АВСD. Докажем, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек А, В, С и D, обозначим соответственно а, b, с и d.
Тогда АВ + СD = АD + ВС = а + c = b + d.
Докажем обратное утверждение.
Формулируется оно так: Если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Пусть в четырехугольнике АВСD равны суммы длин противоположных сторон: АВ + СD = АD + ВС. Докажем, что в четырехугольник АВСD можно вписать окружность.
Проведем AO и BO – биссектрисы углов A и B, AO ∩ BO = O.
Точка O равноудалена от сторон AB, BC и AD четырёхугольника АВСD. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС и AD четырехугольника.
Покажем, что окружность с центром в точке O касается также стороны CD, то есть вписана в четырёхугольник ABCD.
Предположим, что это не так, и CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай. Проведем касательную параллельно CD. Четырехугольник – описанный вокруг окружности, и для него выполняется равенство:
.
При этом . Получим:
С другой стороны,
поэтому
и .
Получили, что для четырехугольника длина стороны CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно. Мы пришли к противоречию. Предположение о том, что CD не имеет общих точек с окружностью, было неверно.
Аналогично доказывается, что CD не может быть секущей к окружности. Значит, CD – касательная к окружности и четырехугольник ABCD – описанный вокруг окружности.
Задача ЕГЭ по теме «Описанный четырехугольник»
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,
Тогда периметр четырехугольника равен .
Описанные четырехугольники
Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
| Фигура | Рисунок | Утверждение |
| Ромб |  | В любой ромб можно вписать окружность |
| Квадрат |  | В любой квадрат можно вписать окружность |
| Прямоугольник |  | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом |
| Параллелограмм |  | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом |
| Дельтоид |  | В любой дельтоид можно вписать окружность |
| Трапеция |  | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
| Ромб |
|
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований