Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Пусть стороны трапеции равны a, b, c, d. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d = 24. Длина средней линии равна полусумме длин оснований: 24/2 = 12.

Видео:№699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадьСкачать

№699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны

Пусть окружность вписана в четырехугольник АВСD. Докажем, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек А, В, С и D, обозначим соответственно а, b, с и d.
Тогда АВ + СD = АD + ВС = а + c = b + d.

Докажем обратное утверждение.
Формулируется оно так: Если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть в четырехугольнике АВСD равны суммы длин противоположных сторон: АВ + СD = АD + ВС. Докажем, что в четырехугольник АВСD можно вписать окружность.

Проведем AO и BO – биссектрисы углов A и B, AO ∩ BO = O.

Точка O равноудалена от сторон AB, BC и AD четырёхугольника АВСD. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС и AD четырехугольника.
Покажем, что окружность с центром в точке O касается также стороны CD, то есть вписана в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так, и CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай. Проведем касательную параллельно CD. Четырехугольник – описанный вокруг окружности, и для него выполняется равенство:
.

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

При этом . Получим:

С другой стороны,
поэтому
и .

Получили, что для четырехугольника длина стороны CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно. Мы пришли к противоречию. Предположение о том, что CD не имеет общих точек с окружностью, было неверно.

Аналогично доказывается, что CD не может быть секущей к окружности. Значит, CD – касательная к окружности и четырехугольник ABCD – описанный вокруг окружности.

Задача ЕГЭ по теме «Описанный четырехугольник»

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

Тогда периметр четырехугольника равен .

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В любой ромб можно вписать окружность
КвадратЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Если в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24
КвадратЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

ТрапецияЕсли в четырехугольник можно вписать окружность сумма длин двух его противоположных сторон равна 24

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

📺 Видео

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можноСкачать

Геометрия Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно

Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практикаСкачать

Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практика

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружности

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Окружность, вписанная в четырёхугольник | МатематикаСкачать

Окружность, вписанная в четырёхугольник | Математика

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математике

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Вписанная и описанная окружность в четырехугольник.Скачать

Вписанная и описанная окружность  в четырехугольник.

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Геометрия 8 класс. Урок 03 "Описанные треугольники и четырехугольники"Скачать

Геометрия 8 класс. Урок 03 "Описанные треугольники и четырехугольники"

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Задача из ЕГЭ и ОГЭ про окружность и периметрСкачать

Задача из ЕГЭ и ОГЭ про окружность и периметр
Поделиться или сохранить к себе: