Кто нашел отношение длины окружности к диаметру (6 видео)

Вычисление длины окружности

Измерение длин принято производить с помощью линейки, или приборов их заменяющих. При изучении темы «Окружность» этот подход не дает результата. Но объекты окружающего мира приводят нас к необходимости вычисления длины окружности, ибо формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины и линия горизонта и диск Луны.

Необходимо найти способ вычисления длины окружности.

И так, объектом нашего исследования является длина окружности; цель исследования – рассмотреть различные способы измерения длины окружности и получение формулы.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» мы узнали, что для вычисления длины окружности колеса в старину поступали так: отмечали на окружности точку и «прокатывали» ее вдоль линейки.

Расстояние от начальной точки — точки касания колеса с землей — до второй точки представляет собой длину окружности.

Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность это линия, то есть по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы «катим» окружность по линейке, то возникает вопрос: почему мы при этом получаем длину окружности, а не какую-нибудь другую величину?

К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.

Выход был найден: рассмотреть вписанные в круг правильные многоугольники.

Идея заменить длину окружности периметром описанного (или вписанного) многоугольника оказалось очень правильной, и различные математики использовали ее в течение более чем 3000 лет.

Изучая литературу, мы узнали : Что такое многоугольник, правильный многоугольник.

Многоугольник – часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, не имеющая точек самопересечения. Вершины и звенья ломаной соответственно называются вершинами и сторонами многоугольника, сама ломаная называется границей многоугольника.

Правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правильный многоугольник можно разрезать на равные треугольники.

Вершины правильных многоугольников расположены на окружностях. Построим вписанные правильные многоугольники -пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, двенадцатиугольник.

Рассмотрим — на каком рисунке периметр правильного многоугольника ближе всего приближается к длине окружности?

На последнем рисунке периметр ближе всего к длине окружности.

Если впишем правильный многоугольник с еще большим числом сторон, то заметим: что, чем больше число сторон, тем точнее приближается периметр к длине окружности.

С древних лет и до нашего времени известно практическое решение задачи: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке, что определило экспериментальную работу.

Мы провели экспериментальную работу по вычислению длины окружности этим способом.

Анализируя результаты таблицы проведенных опытов, мы пришли к выводу:

отношение длины окружности к ее диаметру является числом постоянным и примерно равно 3, с точностью до целых. Расхождения в результатах измерений возникли за счет неточности измерения линейкой, толщины нитки. Чем больше проводим количество испытаний с различными предметами, тем точнее получается результат. Поэтому мы нашли среднее арифметическое.

Hайдя среднее арифметическое полученных результатов (3,25+3,125+3,11+3,2+3+3,17+3,21+3,22+3):9=3,1427… , и обозначив С — длину окружности, D- величину соответствующего диаметра, округлив до сотых результат, получаем 3,14.

Число 3.14… назвали Пи и обозначили -π.( «π»-начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает окружность).

Из этого отношения мы получили формулу длины окружности С=π*D, которую будем использовать для решения задач.

Для нас данная формула является открытием.

Содержание

Историческая справка
Учебник | Число Пи
Кто нашел отношение длины окружности к диаметру
💡 Видео

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Историческая справка

Кто первым догадался, что отношение длины окружности к ее диаметру — это величина постоянная, наверное, никогда не будет известно. Но уже самые древние тексты, найденные археологами, показывают, что люди знали этот факт с незапамятных времен. Например, на глиняных табличках, найденных в Месопотамии и датированных началом 11 тысячелетия до нашей эры, можно прочесть: «Если 60 есть окружность, то третья часть от 60 представляет собой 20. Это и есть диаметр»

История числа П, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте.

Египетские математики определяли Пи равным дроби 256/81, т.е. П= 3,160.

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число Пи в то время принимали равным дроби 3,162.

Древнегреческие математики для вычисления числа π использовали правильные многоугольники.

Одно из самых знаменитых вычислений такого рода принадлежит Архимеду (111 век до нашей эры).Он использовал одновременно вписанные и описанные правильные многоугольники: понятно, что длина окружности больше периметра вписанного многоугольника и меньше периметра описанного многоугольника, поэтому Архимед смог не только найти приближенное значение числа Пи, но и указать точные границы, в которых оно находиться. Похоже, это было первое вычисление такого рода. А если вспомнить, что удобных способов записи вычислений тогда не было и Архимеду приходилось использовать очень сложные и громоздкие описания. Остается удивляться силе его ума и изобретательности. В результате вычислений Архимед нашел первые три верных знака числа Пи, которые сейчас хорошо известны всем: 3,14… При этом оказалось, что хорошее приближение дает число 3,14286, его до сих пор называют «Архимедовым числом».

С тех пор, используя эту идею, многие математики в разных странах продолжали погоню за знаками числа Пи. В 5 веке нашей эры китайский математик Цзу Чун-жи нашел значение Пи до седьмого знака после запятой, а арабский математик ал-Каши в 15 веке нашел уже 17 знаков после запятой.

С появление вычислительной техники дело пошло быстрее. Сейчас уже известны десятки миллиардов цифр числа Пи.

Работая в Интернете, мы нашли материал о значении числа Пи в количестве 10000 знаков после запятой, которые ни разу не повторяются.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Учебник | Число Пи

История числа π выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)² (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби (16/9)&sup2 ; или 256/81 , т.е. π = 3,160.

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным √10, что даёт дробь 3,162.

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга — к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе «Измерение круга» три положения:

Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14 ;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71 .

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7 , а это означает, что π = 3,1419. Истинное значение этого отношения 3,1415922653.

В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927.

Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека , возле Самарканда , астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*2 28 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1′ . Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что π можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова » periferia «, что в переводе означает » окружность «. Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В конце XVIII в. А.М.Лежандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число π иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман , опираясь на исследования Ш.Эрмита , нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, невозможно , а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.

Поиски точного выражения продолжались и после работ Ф.Виета . В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л. Ван Кейлен ) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа .

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число π. Некоторые из этих формул позволяют вычислить «пи» приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу «пи» можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

который дал возможность вычислить = π более коротким путём, нежели Архимед . Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления «пи» удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении , при котором разложение функции arctg 1/√3 = π/6 в ряд даёт равенство

π/6 = 1/√3 [1 — 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)² — 1/7 * (1/3) ³ + . ],
т.е. π = 2√3 [1 — 1/9 + 1/5 * (1/3) ² — 1/7 * (1/3) ³ + . ]

Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле

S_n+1 = S_n + (2√3)/(2n+1) * (-1/3) n , при этом π будет ограничено двойным неравенством:

Ещё более удобную формулу для вычисления π получил Дж.Мачин . Пользуясь этой формулой, он вычислил π (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для π даёт выражение

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его — число алгебраическое, а левая — трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.

Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта , пользуясь приёмами приближённых вычислений числа π, нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем . Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса . Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.

В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число π вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.

В современной математике число π — это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера , которая устанавливает связь числа π и числа e следующим образом:

e 2πi = 1, где i = √-1

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Кто нашел отношение длины окружности к диаметру

Надо только постараться и запомнить

Всё, как есть: 3, 14, 15, 92 и 6.

Введение

Данная тема представляет определенный интерес, поскольку её истоки относятся к древности:с давних пор люди пытались решать задачи, связанные с кругом – измерять длину окружности, находить площадь круга.

Любой школьник сегодня должен уметь находить длину окружности и площадь круга, первый опыт вычислений происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными, и уже через годмало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то число, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14.

В ходе работы над проектом появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, нои приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.

Актуальность проекта заключается в том, что появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, но и создать информационный продукт в виде буклета, который будет содержать не только основные понятия и формулы по теме «Длина окружности и площадь круга», но и интересные факты и исторические сведения.

Гипотеза: Длина окружности, её радиус и площадь связаны между собой посредством формул.

Цель работы: Исследование числа π и выявление его роли в окружающей среде . Задачи работы: 1. Познакомиться подробнее с числом π. 2. Провести практическую работу нахождения числа π. 3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

4.Изучить формулу площади круга.

5.Научится создавать буклеты с помощью текстового процессора MicrosoftWord.Предмет исследования: окружность.

Объект исследования: отношение длины окружности к диаметру.

Методы исследования: эксперимент, наблюдение, анализ.

Ожидаемые результаты: Некоторые данные и формулы достаточно трудно запоминаются, но с помощью открытия интересных фактов о числах или понятиях, можно лучше запомнить формулы, правила. Создание буклета с помощью MicrosoftOffice.

Глава 1. Теоретическая часть

У круга есть одна подруга.

Известна всем её наружность.

Она идёт по краю круга

1.1. Понятие окружности

Окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Точка О – центр окружности. R –радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой). По-латыни radius – это спица колеса.

1.2. Длина окружности.

Если разрезать окружность в какой-либо точке и распрямить её, то получим отрезок, длина которого и есть длина окружности.

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π.

Более точное его значение 3,1415926535897932… [1, стр.189]

Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой d , то, тогда формулы для вычисления длины окружности С = πd.

Если известен радиус окружности, то формула длины окружности будет выглядеть следующим образомC = 2πr.

1.3. Круг. Площадь круга

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга вычисляется по формуле: S=R 2 [2, «Окружность. Круг»]

1.4. Исторические сведения

Ещё в древности пытались решать задачи связанные с кругом. Измерение длины окружности имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернут её и приложить к линейке ил же отметить на окружности точку и «прокатить» её вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Древние египтяне считали, что длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12 раза. Однако древнегреческих математиков такой опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял. К тому же такой подход не позволял определить площадь круга. Выход был найден, впервые известным учёным Архимед предложил первый математический метод вычисления числа π, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников.

Это позволяло вычислять значение π не практически – ниткой и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. [3, стр. 65-72]

Известный ученый Архимед нашел значение π =, что дает величину 3.1428. В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу π = .

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение π =3,1416927… .

Спустя полтора столетия в Европе нашли число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания π. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число π с какой угодно точностью. [4]

Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) Лудольф ван Цейлен затратил 10 лет на вычисление числа Пи и нашел 32 правильных знака после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: « У кого есть охота, пусть идёт дальше». С тех пор (1615г.) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. [5]

В настоящее время число Пи вычислено с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

Если рассчитать длину экватора с точностью до 1 см – предполагая, что мы знаем длину его диаметра вполне точно – нам достаточно было бы взять π всего с 9 цифрами после запятой. А взяв вдвое больше цифр (18) , мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0003 мм (волос в 100 раз толще этой возможной ошибки!)

В штате Иллинойс (США) официально принят закон о том, чтобы чисто Пи считать равным 4! [6]

Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг – фигура с бесконечным количеством углов». Здорово, правда?!

Есть такая поговорка английского математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».

14 марта объявлено Всемирным днем числа π. [7]

Вывод: Число π захватывает умы гениев всего мира.

(приложение 1. Портрет числа π)

Глава 2. Исследовательская часть 2.1. Эксперимент 1. Нахождение длины окружности с помощью нити

Практическая работа состояла в том, чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру.

Берём шесть круглых предметов, в частности вазу, несколько стаканов и чашек разных размеров.

С помощью нити измеряем длину окружности.

Поставив предмет на лист бумаги, обводим его карандашом, вырезаем бумажный круг, сгибаем пополам и линейкой измеряем длины диаметров.(приложение 2)

Составим таблицу с измеренными данными, последний столбец таблицы вычислительного характера: вычислим с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3) .