В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если 
около четырёхугольников AMKC и MEHK можно описать окружность с диаметрами AC и MK соответственно.
то есть прямые AC и EH параллельны.
б) Пусть O — точка пересечения отрезков AK и CM. Тогда
В треугольнике EOH и AOC угол AOC общий, а углы OEH и OAC равны. Значит, треугольники EOH и AOC подобны.
коэффициент подобия равен 
Значит, 
Аналоги к заданию № 514449: 514529 514536 Все
Задача 58868 .
Условие
В остроугольном треугольнике ABC с углом ∠ ABC=60 ° проведены высоты АК и СМ.На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.Найдите отношение ЕН и АС доказав что прямые линий ЕН и АС параллельны.
Решение
Катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.
( см. рисунки и решения на скрине)
∠ D — общий, а стороны пропорциональны.
EH/AC=DH/CD=[b]1/4[/b] 
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если 
, и 
, если 
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- ,где R – радиус описанной окружности .
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .
Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.
5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .
— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).