В остроугольном треугольнике проведены высоты и докажите что прямые параллельны (5 видео)

Содержание

В остроугольном треугольнике проведены высоты и докажите что прямые параллельны
Задача 58868 .
Условие
Решение
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
📸 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

В остроугольном треугольнике проведены высоты и докажите что прямые параллельны

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH и AC, если

около четырёхугольников AMKC и MEHK можно описать окружность с диаметрами AC и MK соответственно.

то есть прямые AC и EH параллельны.

б) Пусть O — точка пересечения отрезков AK и CM. Тогда

В треугольнике EOH и AOC угол AOC общий, а углы OEH и OAC равны. Значит, треугольники EOH и AOC подобны.

коэффициент подобия равен Значит,

Аналоги к заданию № 514449: 514529 514536 Все

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Задача 58868 .

Условие

В остроугольном треугольнике ABC с углом ∠ ABC=60 ° проведены высоты АК и СМ.На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.Найдите отношение ЕН и АС доказав что прямые линий ЕН и АС параллельны.

Решение

Катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.

( см. рисунки и решения на скрине)

∠ D — общий, а стороны пропорциональны.

EH/AC=DH/CD=[b]1/4[/b]

Видео:ЕГЭ-2016. Математика. Задание 16 (планиметрия)Скачать

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и