Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Задание №16 ЕГЭ по математике базового уровня

Видео:Задача В13 ЕГЭ по математикеСкачать

Задача  В13 ЕГЭ по математике

Стереометрия

В задании №16 базового уровня ЕГЭ по математике нам предстоит столкнуться со стереометрией. Как таковой «стереометрии» мы не встретим, обычно условие задания содержит объемную фигуру, в которой нам необходимо найти какое-либо расстояние. В данном задании необходимо правильно применить пространственное мышление и выбрать нужное сечение, остальные расчеты происходят в плоскости, причем по несложным формулам (теорема Пифагора и т.д.). Какой-либо конкретной теории я пока приводить не буду, а рассмотрю типовые варианты, на которых мы и рассмотрим алгоритмы решения задач данного типа.

Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 16МБ1

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения:
  1. Определить тип фигуры, образующей сечение.
  2. Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение.
  3. Вычислить недостающие данные.
  4. Вычислить искомую площадь сечения.
Решение:

Из рисунка видно, что сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Ширина прямоугольника – CD.

По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.

СD = СВ + ВD. СВ = ВD

Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае СА 2 = СВ 2 + АВ 2

СВ 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

СВ 2 = СА 2 — АВ 2

СВ = √(13 2 — 12 2 ) = √(169 — 144) = √25 = 5

Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10

Вычислим искомую площадь сечения.

Вариант 16МБ2

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:
  1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
  2. Найти площади треугольников.
  3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12. Рассмотрим треугольник АВН. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае АВ 2 = ВН 2 + АН 2

ВН 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН 2 = АВ 2 — АН 2 Следовательно, высота BH, равна: Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1Ответ: 1260.

Вариант 16МБ3

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:
  1. Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
  2. Найти площади треугольников.
  3. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 17, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=16:2=8.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ 2 = ВН 2 + АН 2

ВН 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН 2 = АВ 2 — АН 2

Следовательно, высота BH, равна:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1Ответ: 360.

Вариант 16МБ4

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты.

Площадь основания рассчитываем по формуле площади квадрата — квадрат стороны:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

После этого легко вычисляем объем:

V = 1/3 • 16 •3 = 16

Вариант 16МБ5

В треугольной пирамиде АВСD ребра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если АВ=2, АС=15 и AD=11.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для определения объема пирамиды.
  2. Находим площадь основания по формуле для площади прямоугольного треугольника.
  3. Показываем, что высота пирамиды совпадает с ребром AD. Вычисляем искомый объем.
Решение:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Т.к. в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то Sосн=АВ·АС/2.

Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ6

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА1В1С1.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника.
  2. Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину.
Решение:

Площадь правильного треугольника равна:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Здесь а – сторона основания призмы.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь правильного треугольника, лежащего в основании).

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ7

Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания.
  2. Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса.
  3. Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее.
Решение:

Объем конуса равен:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Площадь круга составляет:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ8

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1
Алгоритм выполнения
  1. Определяем, что образующая цилиндра – это одна из сторон сечения-прямоугольника. Вводим обозначения для точек, которые необходимы для выполнения расчетов. Получаем, что образующая – это отрезок DK.
  2. Делаем дополнительное построение – соединяем точки О и А в основании цилиндра. Получаем прямоугольный ∆АВО.Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1
  3. Из ∆АВО по т.Пифагора находим значение АВ. Этот отрезок – половина AD. Отсюда находим AD.
  4. Зная величину DK и AD, вычисляем площадь сечения-прямоугольника.
Решение:

Поскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.

Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоугольного ∆АВО по т.Пифагора АО 2 =АВ 2 +ВО 2 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Площадь сечения равна:

Вариант 16МБ9

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра DA, DC и диагональ DA1 боковой грани равны соответственно 3, 5 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Соединяем вершины А1 и D. Получаем прямоугольный ∆А1АD. Из этого треугольника находим АА1.Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1
  2. Записываем формулу для вычисления объема параллелепипеда. Находим значение для объема.
Решение:

Т.к. ABCDA1B1C1D1 параллелепипед, то угол А1АD равен 90 0 . Поэтому ∆А1АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора А1А 2 +AD 2 =A1D 2 . Отсюда получаем:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Объем параллелепипеда найдем по формуле:

Вариант 16МБ10

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

  1. Записываем формулу для площади боковой поверхности через периметр основания и апофему.
  2. Находим периметр треугольника, лежащего в основании пирамиды.
  3. Доказываем, что апофема является не только высотой, но и медианой для боковой стороны пирамиды.
  4. Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания, по т.Пифагора находим величину апофемы.
  5. Вычисляем площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Находим периметр основания:

Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.

Из прямоугольного ∆ABS по т.Пифагора АВ 2 +SB 2 =AS 2 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ11

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

  1. Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту.
  2. Находим площадь основания, учитывая, что в основании пирамиды лежит квадрат.
  3. Находим диагональ квадрата, лежащего в основании, как гипотенузу из ∆АВС. Используем для этого т.Пифагора Делим полученную величину пополам.
  4. Из треугольника, построенного на половине диагонали основания, высоте пирамиды и ее боковом ребре, по т.Пифагора определяем высоту.
  5. Вычисляем объем.
Решение:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому Sосн=а 2 , где а – сторона основания.

Из прямоугольного ∆АВС по т.Пифагора АС 2 =АВ 2 +ВС 2 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Из прямоугольного ∆АКS по т.Пифагора AS 2 =AK 2 +SK 2 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Значит, объем пирамиды составляет:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ12

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра.
  2. Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение.
Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен:

V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно.

Тогда из этой формулы:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так:

Вариант 16МБ13

Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту.
  2. Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь.
  3. Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину.
Решение:

Объем конуса составляет:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Площадь основания (как площадь круга) равна:

Тогда высота конуса:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Вариант 16МБ14

Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если ее объем равен 60.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Алгоритм выполнения
  1. Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту. Из нее выражаем высоту.
  2. Находим площадь основы-прямоугольника.
  3. Подставляем числовые данные в формулу для высоты, вычисляем искомую величину.
Решение:

Объем пирамиды вычисляется так:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1Отсюда:

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Sосн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды.

Видео:Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

14. Стереометрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Объемы, площади, сечения

Найдите площадь сечения, вершинами которого являются вершина А и середины рёбер ВВ1 и DD1единичного куба АВСDA1B1C1D1.

Дополнительное построение К – середина ребра ВВ1 и М – середина ребра DD1.

Строим сечение методом следов:

  • Соединяем вершины, лежащие в одной грани, А и К, А и М.
  • Продлеваем прямые АК и А1В1 до пересечения. Также прямые АМ и A1D1.
  • Соединяем точки и видим, что прямая, проходит через точку С1, которая принадлежит нашему сечению.
  • Соединяем оставшиеся точки.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Сечением является ромб. Найдем его сторону по теореме Пифагора:

Большая диагональ куба является диагональю куба – АС1.

Найдем угол АКС1 по теореме косинусов:

$AC_1^2=AK^2+KC_1^2-2cdot AKcdot KC_1cdotcos AKC_1 \[5pt] 3=displaystylefrac+frac-2cdotfraccdotcos AKC_1 \[2pt] cos AKC_1=-displaystylefrac$

Найдем площадь искомого сечения:

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

Сечение шара плоскостью – круг.

Дополнительное построение – плоскость α имеет радиус АВ, плоскость β – FD и FC.

Площадь сечения большего шара плоскостью, параллельной первоначальной плоскости, равна 5. Значит: $S=pi R^2=picdot AB^2=5$

Аналогичным образом найдем $FD^2=displaystylefrac$

Для того, чтобы найти площадь искомого сечения, надо знать, чему равно CF 2 .

Применим теорему Пифагора:

$OC^2=OF^2+FC^2 \[2pt] OD^2=OF^2+FD^2$

Вычтем из одного уравнения другое.

Применим еще раз теорему Пифагора:

$OA^2+AB^2=OB^2 \[2pt] OB^2=OC^2$

$OA^2+AB^2-OD^2=FC^2-FD^2 \[3pt] OD=OArightarrow AB^2=FC^2-FD^2 \ FC^2=AB^2+FD^2=displaystylefrac+frac=frac$

Площадь равна 12.

Также возможен случай, когда плоскости будут по одну сторону от центра. Решение будет аналогичным.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = CD = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

1) Дополнительное построение:

2) Треугольники АВС и АBD равнобедренные по условию, значит, АК и BP будут являться медианами по свойству равнобедренного треугольника. Тогда DK, СР также являются одновременно медианой и высотой.

Тогда ∠BPC – линейный угол двугранного угла при ребре AD, ∠AKD — линейный угол двугранного угла при ребре ВС. Из условия имеем: ∠BPC = ∠AKD.

3) РК медиана, биссектриса и высота в треугольниках ВРС и AKD. Тогда PKBC и PKAD.

Тогда, треугольник BPK равен треугольнику АКР по углу

$angle BPK=displaystylefracangle BPC=fracangle AKD=angle AKP$ и катету РК.

Из равенства треугольников следует, что BK = AP.

$BK=displaystylefracBC \[3pt] AP=displaystylefracAD$

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

1) По данным пункта б: ∠BPC = ∠AKD = 60°, тогда треугольники АКD и ВРС равносторонние. Пусть сторона каждого такого треугольника будет равна х.

2) Дополнительное построение. Пусть DOAK.

$left<beginBCperp KD (&по доказанному в пункте а) \ BCperp AK (&по доказанному в пункте а) \ &KDcap AK=Kendright.!!!Rightarrow BCperp AKD $

Из доказанного следует, что BCOD. Значит:

То есть, OD – высота пирамиды.

3) AK = x по построению, тогда $BK=displaystylefrac. AB=5$.

Треугольник АВК прямоугольный, значит:

4) Высота пирамиды и равностороннего треугольника равна:

5) Площадь основания равна:

$S_=displaystylefracAKcdot BC=fraccdot xcdot x=fraccdot 2sqrtcdot 2sqrt=10 \ V=displaystylefraccdot hcdot S_=fraccdotsqrtcdot 10=frac<10sqrt>$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена
точка K так, что KB = 3. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что $displaystylefrac=frac$, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

а) 1. Дополнительное построение.

Пусть B1D1 пересекается с построенной прямой в точке О.

Прямая BD1параллельная плоскости С1ОК, так как параллельна как минимум одной прямой ОК (по построению), лежащей в этой плоскости.

2) Через точку С1 и О проведем прямую. Пусть прямая С1О пересекается с A1B1в точке Р. Точка Р – точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

3) В треугольнике BB1D отрезок ОК параллелен BD1. Значит отрезок ОК делит треугольник BB1D на 2 подобных (признак подобия по 2 углам).

Что и требовалось доказать.

б) Объем куба равен 125.

Ребро РВ1 перпендикулярно В1С1К, так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, а значит является высотой пирамиды.

Найдем объем другой части куба.

Из объема всего куба вычтем объем пирамиды.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 5. Стереометрия.

1. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

4. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.

6. Площадь поверхности куба равна 8. Найдите его диагональ.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

7. Объем куба равен 24√3. Найдите его диагональ.

8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

9. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы.

10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

11. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

12. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

13. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 468. Найдите боковое ребро этой призмы.

14. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

15. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

16. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

17. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

19. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна √8 и образует углы 30°,30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

20. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что BB 1 =32, AB=12, AD=9. Найдите площадь сечения проходящее через вершины A, A 1 , C.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

22. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 .

23. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1 , B1 , C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

24. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A 1 , B1, C 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 . Площадь основания призмы равна 7, а боковое ребро равно 9.

25. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 3. Найдите угол между прямыми AA1и BC1. Ответ дайте в градусах.

26. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 известно, что AB=√3AA 1 . Найдите угол между прямыми AB1 и CC1. Ответ дайте в градусах.

27. Объём куба равен 16. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

28. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

29. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

30. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 1,5. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB 1 .

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

31. Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

32. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

33. Найдите объём многогранника ACDFA 1 C 1 D 1 F 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

34. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки A до прямой E 1 D 1 .

35. Найдите объём многогранника DA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

36. Найдите объём многогранника CDEC 1 D 1 E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 14.

37. Найдите объём многогранника A 1 B 1 F 1 A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

38. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются вершины a a1 середины ребер bc b1c1

39. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

40. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

41. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

42. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

🌟 Видео

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB =18, AD = 36Скачать

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB =18, AD = 36

8 задание ЕГЭ информатика 2021. Найдите объем многогранника вершинами которого являются точкиСкачать

8 задание ЕГЭ информатика 2021. Найдите объем многогранника вершинами которого являются точки

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ЕГЭ стереометрия Вариант 17 задача 2Скачать

ЕГЭ стереометрия  Вариант 17 задача 2

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являютсяСкачать

№567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Почти никто не решил ★ Красивая геометрия ★ Найдите площадь четырехугольника на рисункеСкачать

Почти никто не решил ★ Красивая геометрия ★ Найдите площадь четырехугольника на рисунке

№77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. равна 120 см. Найдите каждое реброСкачать

№77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. равна 120 см. Найдите каждое ребро

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

Стереометрия, номер 10.1Скачать

Стереометрия, номер 10.1

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 11Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 11

Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Задача 8 ЕГЭ по математике #1
Поделиться или сохранить к себе: