Линейная оболочка векторов как найти

Линейные оболочки и подпространства

Определение. Подпространством Линейная оболочка векторов как найтилинейного пространства Линейная оболочка векторов как найтиназывается множество векторов из Линейная оболочка векторов как найтитакое, что для любых двух векторовЛинейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найтииз Линейная оболочка векторов как найтии любых двух вещественных чисел Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найтилинейная комбинация Линейная оболочка векторов как найтитакже принадлежит Линейная оболочка векторов как найти.

Утверждение. Подпространство само является линейным про­странством.

Определение. Линейной оболочкой системы векторов Линейная оболочка векторов как найтиназывается множество всех линейных комбинаций векторов Линейная оболочка векторов как найти. Обозначается Линейная оболочка векторов как найти.

Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.

Определение. Пересечением двух подпространств и на­зывается множество всех векторов, принадлежащих одновре­менно и ,и . Обозначается .

Определение. Суммой двух подпространств Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найтиназывается множество всех векторов Линейная оболочка векторов как найти, представимых в виде Линейная оболочка векторов как найти, где Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти. Обозначается Линейная оболочка векторов как найти.

Утверждение. Сумма и пересечение подпространств Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найтиявляются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством

Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти+ Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти= Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти+ Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти.

Определение. Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состо­ит только из нулевого вектора.

Примеры

1. Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами Линейная оболочка векторов как найти.

Решение. Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства Линейная оболочка векторов как найти, порождённого векторами Линейная оболочка векторов как найти, равенство нулю линейной комбинации Линейная оболочка векторов как найти, эквивалентное системе уравнений Линейная оболочка векторов как найти, достигается лишь при условии Линейная оболочка векторов как найти. Следовательно, векторы Линейная оболочка векторов как найтилинейно

независимы и размерность подпространства Линейная оболочка векторов как найтиравна 2: Линейная оболочка векторов как найти. Для подпространства Линейная оболочка векторов как найти, порождённого векторами Линейная оболочка векторов как найти, проводя аналогичный анализ, получим Линейная оболочка векторов как найти.

Вычислим теперь размерность пересечения подпространств Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найти. По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор Линейная оболочка векторов как найтиподпространства Линейная оболочка векторов как найтиявляется линейной комбинацией базисных векторов Линейная оболочка векторов как найти: Линейная оболочка векторов как найти. Аналогично для подпространства Линейная оболочка векторов как найтиимеем Линейная оболочка векторов как найти, тогда условие принадлежности пересечению есть Линейная оболочка векторов как найтиили Линейная оболочка векторов как найти.

Линейная оболочка векторов как найтиЭто условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов Линейная оболочка векторов как найти. Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований: Линейная оболочка векторов как найти

Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим Линейная оболочка векторов как найти,

откуда Линейная оболочка векторов как найти.

Полагая свободное неизвестное Линейная оболочка векторов как найти, для остальных имеем

Линейная оболочка векторов как найти. Итак, пересечение подпространств Линейная оболочка векторов как найтиимеет один базисный вектор

Линейная оболочка векторов как найти.

Размерность пересечения Линейная оболочка векторов как найти. Следовательно, в соответствии с равенством

Линейная оболочка векторов как найтиЛинейная оболочка векторов как найти

размерность суммы подпространств Линейная оболочка векторов как найти. В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы Линейная оболочка векторов как найти, дополненные вектором Линейная оболочка векторов как найти. В линейной независимости векторов Линейная оболочка векторов как найтиубедиться нетрудно.

Задачи

3.39. Найти размерность и какой-нибудь базис подпространства, порожденного векторами Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти.

3.40. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки векторов Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти.

3.41. Является ли подпространством в указанном пространстве множество

а) векторов, выходящих из начала координат и заканчиваю­щихся на фиксированной прямой, в пространстве R 2 ;

б) бесконечно малых числовых последовательностей в про­странстве сходящихся последовательностей;

в) сходящихся к числу Линейная оболочка векторов как найтипоследовательностей в простран­стве сходящихся последовательностей;

г) диагональных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) невырожденных матриц в пространстве симметричных мат­риц того же порядка;

е) дифференцируемых на интервале Линейная оболочка векторов как найтифункций в простран­стве функций, непрерывных на отрезке Линейная оболочка векторов как найти.

3.42. Почему не является подпространством в указанном про­странстве множество

а) векторов, каждый из которых лежит на одной из коорди­натных плоскостей, в пространстве R 3 ;

б) векторов из пространства R n , координаты которых удовлетворяют уравнению Линейная оболочка векторов как найти;

в) расходящихся числовых последовательностей в простран­стве ограниченных последовательностей;

г) вырожденных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;

д) монотонно возрастающих и ограниченных на множестве Линейная оболочка векторов как найтифункций в пространстве функций, ограниченных на том же множестве.

3.43. Найти размерность и какой-либо базис подпространства ре­шений однородной системы:

а) Линейная оболочка векторов как найти; б) Линейная оболочка векторов как найти;

в) Линейная оболочка векторов как найти.

3.44. Доказать, что данное множество является подпространством в R n , найти его размерность и какой-либо базис:

а) все n-мерные векторы, координаты которых удовлетворя­ют уравнению Линейная оболочка векторов как найти;

б) все n-мерные векторы, у которых первая координата равна нулю;

в) все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой;

г) все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю;

д) все n-мерные векторы, у которых координаты с нечетны­ми номерами равны между собой.

3.45. Найти размерность суммы и пересечения подпространств, порожденных векторами Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти. Является ли эта сумма прямой суммой?

3.46. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек векторов Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти. Является ли их cумма прямой?

3.47. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найти, если

а) Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти;

б) Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти.

3.48. Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найтии Линейная оболочка векторов как найти Линейная оболочка векторов как найти, если

а) Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти;

б) Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти, Линейная оболочка векторов как найти.

Является ли прямой сумма этих подпространств?

Видео:Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Видео:Линал 2.2. Линейная оболочкаСкачать

Линал 2.2. Линейная оболочка

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

🎦 Видео

Линейные оболочки. ТемаСкачать

Линейные оболочки. Тема

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)

Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

Примеры  Линейная зависимость векторов  Базис и ранг системы векторов

Линейная зависимость векторов. РангСкачать

Линейная зависимость векторов. Ранг

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Базис и размерность. ТемаСкачать

Базис и размерность. Тема

Линейная комбинация векторовСкачать

Линейная комбинация векторов

Линейные оболочки. ВопросыСкачать

Линейные оболочки. Вопросы

Линейные оболочки. ОтветыСкачать

Линейные оболочки. Ответы

Связь линейных систем и линейных оболочек. ТемаСкачать

Связь линейных систем и линейных оболочек. Тема

Анализ данных (Линейная оболочка и система)Скачать

Анализ данных (Линейная оболочка и система)

Подпространство. Линейная оболочка. Изоморфизм | 8 | Константин Правдин | ИТМОСкачать

Подпространство. Линейная оболочка. Изоморфизм | 8 | Константин Правдин | ИТМО
Поделиться или сохранить к себе: