Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

ABCD — прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABD иКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаACB: ABCD — прямоугольник, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаА и Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаB — прямые, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABD иКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаACBпрямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABD =Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABD иКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABD =Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаB. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаC и Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаD, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаC = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаD (1). Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA + Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ + Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаC + Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаD = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаC = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаD = 90 0 , Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = 90 0

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA + Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = 180 0 , Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = 180 0 Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = 180 0 90 0 = 90 0

Противолежащие углы параллелограмма равны, Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаКакой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаA = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаC = 90 0 и Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ = Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаD = 90 0

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Прямоугольник — это одна из основ геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.

Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.

Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».

Видео:Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Прямоугольник. 8 класс.

Прямоугольник — это.

Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).

У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.

То есть выглядит это так:

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.

У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.

Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

Прямоугольник. Что такое прямоугольник?

Признаки прямоугольника

Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.

В случае с прямоугольником их всего три:

  1. Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
  2. Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
  3. Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.

» alt=»»>

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Диагонали прямоугольника

Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.

Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:

Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Свойства прямоугольника

К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:

    Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.

      У прямоугольника равны противоположные стороны.

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Видео:Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать

    Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)

    Периметр и площадь

    Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольника

    Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.

    Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

    Эта статья относится к рубрикам:

    Комментарии и отзывы (5)

    Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.

    Прямоугольник отличается от квадрата, этому учат в школе в младших классах. Квадрат — это одинаковая длина соединяющих углов, если я правильно выражаюсь, а прямоугольник формы может быть: телефон, звуковые колонки, паспорт и прочее.

    Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.

    Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.

    Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.

    Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

    8 класс, 7 урок, Прямоугольник

    Какой четырёхугольник называется прямоугольником

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаВ школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.

    Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.

    • Признаки и свойства прямоугольника
    • Формулы для вычисления длины сторон
    • Периметр и площадь
    • Диагонали прямоугольника
    • Определение и свойства квадрата
    • Примеры вопросов и задач

    Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

    Признаки и свойства прямоугольника

    Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:

    • фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°,
    • представленный четырёхугольник — это параллелограмм с равными диагоналями,
    • параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.

    Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.

    Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.

    Формулы для вычисления длины сторон

    В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).

    Это интересно: в геометрии луч это что такое, основное понятие.

    Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α угол между диагональю и длиной, β острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:

    • С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² b ²), b = √(d ² a ²).
    • По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
    • При помощи периметра и известной стороны: a = (P — 2 b) / 2, b = (P — 2 a) / 2.
    • Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
    • Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

    Это интересно: как сравнить два отрезка способы с примерами.

    Периметр и площадь

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаПериметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:

    • Через обе стороны: P = 2 (a + b).
    • Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

    Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:

    • Через длины обеих сторон: S = a*b.
    • При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa — 2 a ²) / 2, S = (Pb — 2 b ²) / 2.
    • По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.

    Диагонали прямоугольника

    В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:

    1. Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
    2. Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
    3. Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
    4. Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали — с её диаметром.

    Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

    Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:

    • С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
    • С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.

    Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

    Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

    Определение и свойства квадрата

    Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

    Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:

    1. Если это прямоугольник, у которого длина a и ширина b равны.
    2. Если это ромб с равными длинами диагоналей и с четырьмя прямыми углами.

    К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:

    1. Диагонали перпендикулярны относительно друг друга (свойство ромба).
    2. Точка пересечения совпадает с центром вписанной окружности.
    3. Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре одинаковых прямоугольных и равнобедренных треугольника.

    Приведём часто используемые формулы для Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникавычисления периметра, площади и элементов квадрата:

    • Диагональ d = a √2.
    • Периметр P = 4 a.
    • Площадь S = a ².
    • Радиус описанной окружности вдвое меньше диагонали: R = 0,5 a √2.
    • Радиус вписанной окружности определяется как половинная длина стороны: r = a / 2.

    Видео:Виды четырёхугольниковСкачать

    Виды четырёхугольников

    Примеры вопросов и задач

    Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.

    Задача 1. Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?

    Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a • 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.

    Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?

    Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.

    Задача 2. Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.

    Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.

    Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?

    Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.

    Задача 3. Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.

    Какой четырехугольник называется прямоугольником сформулируйте свойства прямоугольникаРешение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:

    • Определим, чему равны основные элементы квадрата: a = √ S = √289 = 17, d = a √2 =1 7√2.
    • Подсчитаем, чему равен радиус описанной вокруг четырёхугольника окружности: R = 0,5 d = 8,5√2.
    • Найдём радиус вписанной окружности: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

    💥 Видео

    Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

    Миникурс по геометрии. Четырехугольники

    8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

    8 класс, 3 урок, Четырехугольник

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

    Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата | Математика 4 класс #9 | ИнфоурокСкачать

    Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата | Математика 4 класс #9 | Инфоурок

    ПРЯМОУГОЛЬНИК. §4 геометрия 8 классСкачать

    ПРЯМОУГОЛЬНИК. §4 геометрия 8 класс

    Математика 29. Четырехугольники, прямоугольник, квадрат — Шишкина школаСкачать

    Математика 29. Четырехугольники, прямоугольник, квадрат — Шишкина школа

    Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Решение задач.Скачать

    Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Решение задач.

    Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

    Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

    Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

    Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

    Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать

    Прямоугольник. Ось симметрии. 5 класс
Поделиться или сохранить к себе: