Частным видом параллелограмма является прямоугольник.
Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
ABCD — прямоугольник.
- Особое свойство прямоугольника
- Доказательство
- Теорема
- Доказательство
- Теорема
- Доказательство
- Прямоугольник — это одна из основ геометрии
- Прямоугольник — это.
- Признаки прямоугольника
- Диагонали прямоугольника
- Свойства прямоугольника
- Периметр и площадь
- Комментарии и отзывы (5)
- Какой четырёхугольник называется прямоугольником
- Признаки и свойства прямоугольника
- Формулы для вычисления длины сторон
- Периметр и площадь
- Диагонали прямоугольника
- Определение и свойства квадрата
- Примеры вопросов и задач
- 💥 Видео
Особое свойство прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны |
Доказательство
Дано: ABCD — прямоугольник
Доказать: AC = DB
Доказательство:
Рассмотрим ABD иACB: ABCD — прямоугольник, А и B — прямые, ABD иACB — прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.
Теорема
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB
Доказать: ABCD — прямоугольник
Доказательство:
Рассмотрим ABD иACB:
AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90 0 , ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.
Теорема
Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник |
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, A = 90 0
Доказать: ABCD — прямоугольник
Доказательство:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. A + В = 180 0 , В = 180 0 — A = 180 0 — 90 0 = 90 0
Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90 0 и В = D = 90 0
Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать
Прямоугольник — это одна из основ геометрии
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.
Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Видео:Прямоугольник. 8 класс.Скачать
Прямоугольник — это.
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).
У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
То есть выглядит это так:
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.
У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.
Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать
Признаки прямоугольника
Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.
В случае с прямоугольником их всего три:
- Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
- Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.
» alt=»»>
Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать
Диагонали прямоугольника
Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.
Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:
Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Свойства прямоугольника
К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:
- Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
- Признаки и свойства прямоугольника
- Формулы для вычисления длины сторон
- Периметр и площадь
- Диагонали прямоугольника
- Определение и свойства квадрата
- Примеры вопросов и задач
- фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°,
- представленный четырёхугольник — это параллелограмм с равными диагоналями,
- параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.
- С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² b ²), b = √(d ² a ²).
- По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
- При помощи периметра и известной стороны: a = (P — 2 b) / 2, b = (P — 2 a) / 2.
- Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
- Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.
- Через обе стороны: P = 2 (a + b).
- Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.
- Через длины обеих сторон: S = a*b.
- При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa — 2 a ²) / 2, S = (Pb — 2 b ²) / 2.
- По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.
- Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
- Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
- Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
- Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали — с её диаметром.
- С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
- С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.
- Если это прямоугольник, у которого длина a и ширина b равны.
- Если это ромб с равными длинами диагоналей и с четырьмя прямыми углами.
- Диагонали перпендикулярны относительно друг друга (свойство ромба).
- Точка пересечения совпадает с центром вписанной окружности.
- Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре одинаковых прямоугольных и равнобедренных треугольника.
- Диагональ d = a √2.
- Периметр P = 4 a.
- Площадь S = a ².
- Радиус описанной окружности вдвое меньше диагонали: R = 0,5 a √2.
- Радиус вписанной окружности определяется как половинная длина стороны: r = a / 2.
- Определим, чему равны основные элементы квадрата: a = √ S = √289 = 17, d = a √2 =1 7√2.
- Подсчитаем, чему равен радиус описанной вокруг четырёхугольника окружности: R = 0,5 d = 8,5√2.
- Найдём радиус вписанной окружности: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.
- У прямоугольника равны противоположные стороны.
Видео:Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать
Периметр и площадь
Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.
Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:
Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:
К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.
Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Главная основа геометрии — это все же треугольник. Через него можно построить любую фигуру и доказать любую теорему.
Прямоугольник отличается от квадрата, этому учат в школе в младших классах. Квадрат — это одинаковая длина соединяющих углов, если я правильно выражаюсь, а прямоугольник формы может быть: телефон, звуковые колонки, паспорт и прочее.
Не согласен с утверждением, что раз один угол прямой, то перед нами точно прямоугольник, всё же прямоугольник — это когда все противоположные стороны параллельны друг другу, а если только один угол прямой, то там и трапеция может быть.
Я бы сказала, что прямоугольник — это основа архитектуры. Все здания так или иначе используют эту фигуру в своем дизайне.
Вот за что я люблю прямоугольники, так за то, что площадь его легко найти, да и периметр, вот с трапецией сложнее, увы, но те же земельные участки больше трапеции, отсюда и земельные споры.
Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать
Какой четырёхугольник называется прямоугольником
В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.
Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.
Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Признаки и свойства прямоугольника
Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:
Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.
Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.
Формулы для вычисления длины сторон
В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).
Это интересно: в геометрии луч это что такое, основное понятие.
Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α угол между диагональю и длиной, β острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:
Это интересно: как сравнить два отрезка способы с примерами.
Периметр и площадь
Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:
Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:
Диагонали прямоугольника
В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:
Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.
Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Определение и свойства квадрата
Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.
Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:
К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:
Приведём часто используемые формулы для вычисления периметра, площади и элементов квадрата:
Видео:Виды четырёхугольниковСкачать
Примеры вопросов и задач
Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.
Задача 1. Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?
Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a • 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.
Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?
Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.
Задача 2. Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.
Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.
Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?
Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.
Задача 3. Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.
Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:
💥 Видео
Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать
8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата | Математика 4 класс #9 | ИнфоурокСкачать
ПРЯМОУГОЛЬНИК. §4 геометрия 8 классСкачать
Математика 29. Четырехугольники, прямоугольник, квадрат — Шишкина школаСкачать
Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Решение задач.Скачать
Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать
Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать
Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать