Как выглядит ломаный четырехугольник (3 видео)

Ломаная линия

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.

Построим ломаную из четырёх отрезков:

Отрезки AB, BC, CD и DE — это звенья ломаной. Точки A, B, C, D и E — вершины ломаной. Обозначение ломаной линии составляют из букв, стоящих при её вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: ломаная ABCDE или ломаная EDCBA .

Содержание

Замкнутая и незамкнутая ломаная
Самопересекающаяся ломаная
Длина ломаной
Как выглядит замкнутая ломаная линия
Типы ломаных линий
Особенности замкнутых линий
Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной
Ломаная линия — определение, виды и примеры построения фигуры
Краткое описание
Математическое определение
Основные разновидности ломаных
Базовые понятия
Особенности построения многоугольников
Ключевые нюансы
📸 Видео

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Замкнутая и незамкнутая ломаная

Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:

незамкнутая ломаная ABCD.

Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:

замкнутая ломаная ABC.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Самопересекающаяся ломаная

Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:

точки F, T, K — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.

Видео:ЛоманаяСкачать

Длина ломаной

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.

Пример 1. Найти длину ломаной из 3 звеньев.

Решение: Для нахождения длины ломаной, состоящей из трёх звеньев, надо сложить длины всех её звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:

AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.

Ответ: Длина ломаной ABCD равна 9 см.

Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.

Решение: Найдём периметр замкнутой ломаной, сложив длины всех её звеньев:

AB + BC + CD + DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

Как выглядит замкнутая ломаная линия

Ломаной линией в геометрии принято называть геометрическую фигуру, которая состоит из двух или нескольких отрезков. Конец одного отрезка является началом другого. Обязательное условие, которому подчиняется любая ломаная, — соседние отрезки не должны располагаться на одной прямой.

Эти геометрические фигуры находят самое широкое применение в разных областях науки и практики:

Картография — для построения изображений улиц и схем маршрутов.
Архитектура — очертания зданий и строений.
Ландшафтный дизайн — декоративное оформление и расположение тропинок.
Химия — молекулярная структура сложных полимерных соединений.
Медицина — мониторы для контроля функционального состояния органов и систем.

Видео:В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

Типы ломаных линий

Рассматриваемые геометрические фигуры могут быть выстроены самыми разнообразными способами — они могут быть незамкнутыми и замкнутыми, пересекающимися и непересекающимися.

Замкнутая ломаная соответствует определенной геометрической фигуре — многоугольнику.

Если отрезки одной такой фигуры имеют точки пересечения друг с другом — эта линия называется самопересекающейся.

Всего существует 4 типа подобных линий по своей структуре:

Замкнутые, которые не имеют пересечений.
Незамкнутые, которые не имеют пересечений.
Незамкнутые самопересекающиеся.
Замкнутые, имеющие самопересечения.

Разновидностью такой геометрической фигуры может считаться зигзаг, у которого последовательные отрезки образуют прямой угол и параллельны друг другу через один. Зигзагами широко пользуются в обиходе — в портновском мастерстве, декоративном искусстве, оформлении предметов обихода.

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

Особенности замкнутых линий

Рассмотрим подробнее составляющие части этой геометрической фигуры.

Один отрезок из тех, что составляют описываемую фигуру, называется ее звеном. Ломаной может считаться такая линия, которую составляют как минимум два отрезка — звена. Если звено одно — это просто единичный отрезок.
Существует также понятие вершины ломаной. Этим термином принято называть точку, в которой соединяются концы двух звеньев. Такие точки в геометрии принято обозначать с помощью заглавных латинских букв. Сама ломаная называется сочетанием обозначений этих вершин. Например, названием такой линии может послужить сочетание ABCDEF.
Если концы крайних звеньев этого геометрического объекта соединяются в одной точке, такая линия называется замкнутой.
Ломаная линия может пересекать саму себя.
Конечные вершины такой фигуры в геометрии принято называть черными точками.

Как уже было сказано выше, эта разновидность линий может иметь самопересечения. Наиболее популярным примером замкнутой линии, имеющей самопересечения, является пятиконечная звезда.

Видео:Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать

Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной

Разновидностью описываемой геометрической фигуры является многоугольник. Точками в многоугольнике являются его вершины, а отрезки называются сторонами.

Если вершины принадлежат одной и той же стороне многоугольника — они носят название смежных.
Если отрезок соединяет две любых вершины, не являющиеся смежными, он называется диагональю.
Если у многоугольника имеется n вершин — он называется n-угольником. У такой фигуры имеется количество сторон, равное n.
Такая ломаная делит плоскость на 2 части — внешнюю и внутреннюю.
Если точки многоугольника лежат по одну сторону от прямой и проходят через 2 соседние вершины — его принято называть выпуклым.
Угол выпуклого многоугольника при данной вершине — это угол, который образован двумя его сторонами, для которых эта вершина является общей.
Внешний угол выпуклого многоугольника при определенной вершине — это угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой же самой вершине.

Примерами многоугольников являются четырехугольники, треугольники, пятиугольники. Рассмотрим подробнее отличительные черты этих фигур.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, расположенных не на одной прямой. Эти точки попарно соединяются между собой отрезками.

Четырехугольником в геометрии называется фигура, которая имеет четыре угла и четыре стороны. Четырехугольники встречаются самые разнообразные — это могут быть трапеции, квадраты, параллелограммы, ромбы.

У трапеции параллельны две стороны, которые называются основаниями. Остальные две стороны не параллельны. У параллелограмма между собой параллельны две противоположные стороны.

Отличительной чертой прямоугольника является то, что все его углы прямые. У квадрата являются равными все четыре стороны. Кроме того, все углы у квадрата являются прямыми.

Если у многоугольника все стороны и углы равны, он называется правильным. Такой многоугольник всегда будет выпуклым.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Ломаная линия — определение, виды и примеры построения фигуры

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Краткое описание

Специалисты называют ломаной ту геометрическую фигуру, которая представляет собой непрямую линию, состоящую исключительно из многочисленных соединённых отрезков. Учащимся нужно запомнить, что все эти фрагменты могут сходиться под абсолютно разными углами. Проще говоря, если есть даже самый маленький угол между двумя соединёнными отрезками, то это линия своеобразного ломаного типа.

Прямая тоже может состоять сразу из нескольких геометрических фрагментов, но угол их соединения приравнивается к нулю. Для избежания грубых математических ошибок нужно помнить, что ломаная линия отличается от кривой, так как отдельные отрезки представляют собой прямую линию, чего нельзя сказать о кривой.

В некоторых случаях пространственная ломаная может образовывать замкнутую фигуру. Но такая ситуация возможна только тогда, когда концы крайних отрезков совпадают, а также пересекают самих себя. Рассматриваемая в математике фигура состоит из вершин и отрезков, которые и соединяют эти вершины. Но в этом случае действует правило — два последних отрезка не должны лежать на одной прямой.

Сторонами или звеньями изогнутой линии принято называть составные отрезки. Минимальное количество звеньев — два. Специалисты привыкли называть чёрными точками конечные вершины ломаной линии. Чтобы графически всё выглядело правильно, необходимо использовать обозначения в соответствии с названиями задействованных вершин.

Если конечные вершины совпадают, тогда речь касается изогнутой замкнутой линии. В качестве примера можно рассмотреть многоугольник. Эта фигура представляет собой плоскую замкнутую ломаную, которая лишена каких-либо самопересечений. Вершины ломаной линии и её звенья относятся к многоугольнику. Если речь касается фигуры с тремя сторонами и вершинами, то это треугольник.

Немного сложнее разобраться с замкнутой ломаной и её четырьмя сторонами, так как это может быть прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб и даже трапеция. Если фигура имеет пять или более сторон, то она называется n-угольником. Символ n указывает на точное число вершин.

Некоторые математические примеры касаются изогнутой линии с самопересечениями (пятиконечная звезда). К этой категории также можно отнести зигзаг, в котором каждый второй отрезок параллелен другому, а последние формируют одинаковый угол.

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Математическое определение

Ломанной принято называть ту геометрическую фигуру, которая состоит из обычных отрезков (R1, R2, R3 и R4, Rn-1 Rn). Вершинами изогнутой принято называть точки R1…Rn, а вот все остальные отрезки — это неотъемлемые звенья. Если для любого w действует формула , а отрезки не расположены на одной прямой, то такая ломанная будет называться невырожденной. В противном случае придётся иметь дело с вырожденным примером.

Для лучшего усвоения этой темы следует рассмотреть несколько примеров. Изогнутая может иметь самопересечение, но это возможно только в том случае, если минимум два отрезка обладают общей точкой (за исключением вершины).

В математике часто можно встретить фигуру, которая является обычной ломаной линией. В этом случае практикуется применение следующей записи: R1R2R3R4R5R6. Если ученику предстоит разобраться со всеми нюансами построения замкнутой ломаной из трёх звеньев и более, тогда ему понадобятся вспомогательные отрезки (к примеру: R1, R2, а также Rn -1 Rn, которые не должны лежать на одной прямой).

Замкнутую плоскую ломаную линию принято называть многоугольником. Если рассматривать многогранники, то все стороны фигуры будут называться рёбрами. Учителя России предпочитают создавать краткосрочное планирование по этой теме, так как в этом случае можно донести больше полезной информации до учеников.

Гораздо проще разобраться с изгибами зигзага, так как они используются в швейном деле, в распространённом декоративном оформлении предметов обихода в качестве орнамента. Стоит отметить, что изогнутая линия нашла широкое применение в различных отраслях:

Архитектура. Изогнутые линии позволяют сооружать интересные номера.
Картография (тщательное проектирование маршрутов и подробное схематическое изображение всех улиц).
Химическая отрасль (различные соединения и своеобразные молекулярные структуры).
Востребованный дизайн ландшафтов (утончённое оформление, расположение дорожек).
Медицина (мониторы для наблюдения за сердечным ритмом).
Метод освоения каллиграфических навыков в китайском языке.

Изучение этой темы в математике является обязательным, так как от этого зависит качество усвоения материала учеником.

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

Основные разновидности ломаных

Геометрическая фигура может быть построена совершенно по любому из действующих методов. Специалисты выделяют замкнутую, а также незамкнутую ломанную. Повышенное внимание уделяют самопересекающимся, непересекающимся линиям. Классическая замкнутая ломаная является многоугольником. В математике самопересекающейся принято называть ту линию, отрезки которой имеют минимум одно пересечение. По своей структуре ломаная может быть весьма разнообразной, из-за чего нужно внимательно относиться ко всем аспектам.

В начальных классах школы принято рассматривать следующий пример: ломаная включает в себя сразу пять звеньев либо сторон: ZX, XC, CV, VB, BN. Та точка, где неизбежно соединяются два звена, называется вершиной. В этом случае имеется сразу четыре вершины: X, С, V, B.

Повышенное внимание нужно уделить изучению звена ломаной. Звеньями эксперты привыкли называть стороны либо отрезки, из которых образована линия. Всего одно такое звено может быть рассмотрено только в качестве отрезка. А вот для построения ломаной необходимо задействовать как минимум два звена. Вершины — это классические точки, которые представляют собой концы одних отрезков ломаной. Обозначить точки можно только латинскими буквами.

Пример замкнутой, а также традиционной незамкнутой ломаной линии, которую часто можно встретить в геометрии и алгебре:

Если необходимо определить точную длину ломаной, то для этого следует поочерёдно сложить все известные данные задействованных звеньев (ZX + XC + CV + VB + BN).

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Базовые понятия

Чтобы гарантировано освоить все правила, которые касаются использования изогнутой линии в математике, необходимо разобраться со звеньями. Существует ряд нюансов, которые можно сопоставить с элементарной геометрической конструкцией. Линию формируют отдельные отрезки, которые в математике называются звеньями. Если все концы ломаной соединяются в одной точке, то такая фигура будет называться замкнутой.

Все задействованные звенья могут обладать взаимными пересечениями. Вершинами специалисты привыкли называть точки соединения отрезков. О многоугольнике можно говорить только в том случае, если звенья не пересекаются между собой. Звено обозначают сразу двумя латинскими буквами. Каждая вершина изогнутой линии может обозначаться только одной буквой. Только тщательное изучение всех правил и нюансов позволит правильно решать математические задачи.

Видео:Выпуклый четырехугольникСкачать

Особенности построения многоугольников

В этом случае речь касается геометрической фигуры, отличающейся итоговым количеством звеньев, углов. Последние могут быть сформированы только несколькими звеньями замкнутой ломаной, которые сходятся в одной точке. Задействованные звенья также могут носить логическое название сторон многоугольника. Общие точки двух отрезков называются вершинами. Стоит учесть, что количество сторон либо звеньев в каждой такой фигуре в точности соответствует количеству углов. Если задействовать замкнутую ломаную из трёх отрезков, то в итоге получится треугольник.

Абсолютно все многоугольники обладают одинаковыми свойствами. Самая маленькая фигура включает в себя всего три стороны. Но расположенные в непосредственной близости треугольники могут формировать совершенно новые фигуры. Если имеющиеся вершины изучаемого многоугольника являются своеобразным дополнением одной стороны, то их всегда называют соседними.

Когда многоугольник был расположен относительно одной прямой в любой плоскости, то она называется выпуклой. А вот прямая может содержать в себе одну сторону фигуры и принадлежать полуплоскости. Если отрезок соединяет не соседние вершины, то он называется диагональю. Смежный внутренний угол при некоторой вершине называется внешним.

Следует отметить тот факт, что когда все имеющиеся углы и стороны многоугольника равны между собой, то речь касается правильных отрезков. Каждая геометрическая фигура обладает определёнными параметрами. Треугольниками в алгебре принято называть обычную плоскую фигуру, которая состоит из трёх точек, не расположенных на одной прямой. Для соединения используются обычные отрезки. Точки выступают в роли вершин треугольника. Такая фигура имеет всего три угла. Специалисты различают 6 разновидностей треугольников:

Элементарные разносторонние. В этом случае каждая следующая сторона отличается своей длиной.
Равносторонние. Абсолютно все стороны обладают идентичной длиной.
Специфические остроугольные. Сформированные углы имеют острую форму.
Универсальные равнобедренные. Сразу две стороны из трёх существующих обладают одинаковой длиной.
Тупоугольные. Фигура обладает одним тупым углом.
Традиционные прямоугольные. Нарисованная фигура должна иметь минимум один прямой угол.

Четырёхугольником называют ту конструкцию, которая обладает четырьмя сторонами и четырьмя сторонами. Использование таких геометрических фигур обладает определёнными нюансами.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Ключевые нюансы

Существует две линии SWT и SFT одинаковой толщины, которые соединяют свободные концы одной прямой ST. В итоге образуется ломаная. Изогнутая SFT именуется внутренней ломаной, а вот SWT внешней. В качестве примера лучше всего рассмотреть фигуру, которая соответствует математической теореме, что внешняя изогнутая превышает внутреннюю.

По условиям задачи были даны две ломаные: внутренняя SFT и внешняя SWT. Необходимо доказать, что SWT больше SFT. Для решения этой задачи нужно продолжить линию SF до пересечения с отрезком WT в точке Е. Линия SWE как ломаная гораздо больше прямой SE. Ломанная FET больше имеющейся прямой FT. Если сложить между собой все эти неравенства, то в итоге можно получить: SW+ WE + FE + ET > SF + FE + FT.

Для получения достоверного результата нужно вычесть из обеих частей неравенства по СЕ:

SW+ WE + ET > SF + FT.
WE + ET = WT.

Необходимо рассмотреть и вторую теорему, в соответствии с которой итоговая сумма пересекающихся изогнутых линий больше не пересекающихся. По условиям задачи были даны обычные пересекающиеся ломаные HLK и HRK, а также HR, LK и пересекающиеся части. Решение выглядит следующим образом: неравенства отрезков вытекают из того, что ломаная HEL гораздо больше прямой HL, а вот координаты KER превышают KR.

Нелишним также будет научиться находить общую меру сразу двух линий при помощи линейки. Это правило обязательно осваивают в начальных классах. Для поиска неизвестной общей меры обязательно нужно на большую линию наложить меньшую, потом первый остаток на меньший отрезок, а второй остаток на первый. Все эти манипуляции повторяют ровно до тех пор, пока самый последний остаток максимально не уложится в предпоследнем выполненном действии. Измерение линий всегда означает то, что учащемуся необходимо отыскать её отношение к другим отрезкам, принятым за единицу. Полученное значение называют длиной этой линии, которая может выражаться исключительно в каких-нибудь единицах.

Изучение ломаных линий очень важно, так как они окружают человека повсюду. Речь касается прямых линий, которые меняют своё первоначальное направление, замыкаются, а также пересекаются.