Как найти пару равных векторов

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

рис. 1

Примеры задач на равенство векторов

Примеры плоских задач на равенство векторов

a = b — так как их координаты равны,
a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y => 8 = 2 n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y = 2
a_z = b_z => 4 = 2 n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Как найти пару векторов

Найти пары элементов в векторе

У меня есть следующий вектор. V =
Я хочу найти все пары элементов. Всего у меня будет К (К-1) / 2 пары элементов.

Каким должен быть псевдокод этого алгоритма.

Спасибо dasblinkenlight за вашу помощь. Я написал код, он может помочь кому-то в будущем:

Решение

Вот общие мысли о том, как это сделать:

• Есть N кандидаты в первый член пары
• Когда участник k выбран первым членом пары, есть N-k Кандидаты на второго члена пары
• Вы можете генерировать все пары, используя два вложенными петли
• Вы можете доказать, что общее количество пар N*(N-1)/2 с использованием формула для суммы арифметической прогрессии с шагом 1 ,

Вот как вы можете сделать это с помощью двух циклов:

Примечание. Приведенный выше код использует математические обозначения для интервалов, где квадратные скобки обозначают включение соответствующего конца в интервал, а круглые скобки обозначают исключение соответствующего конца.

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = и b = . Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Как найти вектор коллинеарный вектору

Формула

Примеры нахождения коллинеарного вектора

Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:

По пропорции имеем:

$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac =1,5$$

А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств

$$frac =2 Rightarrow m=6$$ $$frac =2 Rightarrow n=frac =0,5$$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

Равные векторы

В различных школьных учебниках определение равных векторов даётся по-разному.

В классическом учебнике Погорелова А. В. понятие равных векторов вводится с помощью параллельного переноса.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.

(то есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого).

Например, изображенные на рисунке

Равенство векторов обозначают так:

(Свойства равных векторов)

1) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.

2) Равные векторы имеют равные координаты.

3) От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

1) 1-е свойство вытекает непосредственно из определения равных векторов и свойств параллельного переноса.

2) Пусть дан вектор

с началом в точке A(x₁; y₁) и концом в точке B(x₂; y₂).

По определению равных векторов, вектор

равный данному, получен из

Если этот параллельный перенос задан формулами

Найдём координаты каждого из векторов:

То есть координаты равных векторов

Что и требовалось доказать.

Таким образом, координаты задают длину и направление вектора, но не фиксируют его.

3) Пусть даны вектор

и точка C.
Существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку C — параллельный перенос на вектор

При таком параллельном переносе вектор

переходит в вектор

По определению равных векторов,

Что и требовалось доказать.

На практике, если требуется отложить от некоторой точки вектор, равный данному, удобно это делать с помощью параллелограмма (если точка, от которой откладывается вектор, не лежит на прямой, содержащей этот вектор).

Например,

отложенный от точки C, равен вектору

(Признаки равенства векторов)

1) Если векторы сонаправлены и имеют одинаковые длины, то они равны.

2) Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

1) Пусть векторы

сонаправлены и имеют одинаковые длины.

Параллельный перенос, который переводит точку A в точку C, совмещает луч CD с лучом AB (поскольку векторы одинаково направлены). А так как длины отрезков CD и AB равны, то точка D при этом совместится с точкой B. Таким образом, этот параллельный перенос вектор

переводит в вектор

По определению равных векторов,

Что и требовалось доказать.

2) Пусть векторы

Параллельный перенос, заданный формулами

переводит точку A в точку A′, точку B — в точку B′, то есть совмещает векторы

А это означает, что

Что и требовалось доказать.

В учебнике Атанасяна Л. С. и др. дано другое определение равных векторов.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.