Как найти диагональ из площади четырехугольника

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Как найти диагональ из площади четырехугольникаОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Как найти диагональ из площади четырехугольника

Видео:Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)Скачать

Площадь квадрата через диагональ 📐 Полезный файлик в комментариях)

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Как найти диагональ из площади четырехугольникаНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Как найти диагональ из площади четырехугольника

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Как найти диагональ из площади четырехугольникаСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как найти диагональ из площади четырехугольника

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.

Обозначим стороны вписанного четырехугольника ABCD через a, b, с, d и его диагонали через x и y .Проведем AK ^ BС и СL ^ AD.

Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d, то, если угол B острый, угол D должен быть тупым.

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Поэтому из треугольников ABС и ADС можем написать:

x 2 = a 2 + b 2 – 2b . BK [1];

x 2 = с 2 + d 2 + 2d . DL [2].

Прямоугольные треугольники ABK и СDL подобны, т.к. они содержат по равному острому углу (углы B и СDL равны, потому что каждый из них служит дополнением до 2d к углу ADС).

Из их подобия выводим:

откуда BK . с = DL . a [3].

Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными x, BK и DL.

Чтобы исключить BK и DL , уравняем в первых двух уравнениях последние члены, для чего умножим уравнение [1] на сd , а уравнение [2] на ab .

Сложив затем результаты и, приняв во внимание уравнение [3], найдем:

(ab + сd)x 2 = a 2 сd + b 2 сd + с 2 ab + d 2 ab =aс(ad + bс) + bd(bс+ad)=(aс + bd)(ad+bс),

Как найти диагональ из площади четырехугольника.

Заметим, что в числителе подкоренной величины первый множитель — сумма произведений противоположных сторон, а второй — сумма произведений сторон, сходящихся в концах определяемой диагонали, знаменатель же представляет сумму произведений сторон, сходящихся в концах другой диагонали.

После этого мы можем, по аналогии, написать следующую формулу для диагонали y:

Как найти диагональ из площади четырехугольника.

Следствие 1.

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Действительно, перемножив выражения, выведенные для x и для y, получим:

Как найти диагональ из площади четырехугольника.

Это предложение известно под именем теоремы Птоломея.

Следствие 2.

Отношение диагоналей вписанного четырехугольника равно отношению суммы произведений сторон, сходящихся в концах первой диагонали, к сумме произведений сторон, сходящихся в концах второй диагонали.

Действительно, разделив те же два равенства, найдем:

Как найти диагональ из площади четырехугольника.

Эти два следствия удобны для запоминания. Из них можно обратно вывести формулы для x и y (перемножением или делением равенств, определяющих xy и x/y).

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Площади четырехугольников

Как найти диагональ из площади четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Как найти диагональ из площади четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Как найти диагональ из площади четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:как найти диагональ.Скачать

как найти диагональ.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Как найти диагональ из площади четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти диагональ из площади четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника,
Как найти диагональ из площади четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникКак найти диагональ из площади четырехугольникаS = ab
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
ПараллелограммКак найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
КвадратКак найти диагональ из площади четырехугольникаS = a 2
Как найти диагональ из площади четырехугольникаS = 4r 2
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
РомбКак найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
ТрапецияКак найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольникаS = m h
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
ДельтоидКак найти диагональ из площади четырехугольникаS = ab sin φ
Как найти диагональ из площади четырехугольникаКак найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти диагональ из площади четырехугольника
Вписанный четырёхугольникКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника,
Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Параллелограмм
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Квадрат
Как найти диагональ из площади четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Как найти диагональ из площади четырехугольникаS = 4r 2

Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Ромб
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Трапеция
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Дельтоид
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольникаКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти диагональ из площади четырехугольника
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Как найти диагональ из площади четырехугольника
Прямоугольник
Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияКак найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Как найти диагональ из площади четырехугольника

ДельтоидКак найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникКак найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Как найти диагональ из площади четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Как найти диагональ из площади четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Как найти диагональ из площади четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Как найти диагональ из площади четырехугольника
(рис.6).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Как найти диагональ из площади четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Как найти диагональ из площади четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

💥 Видео

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а уголСкачать

№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольника

Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Диагональ прямоугольника. Математика. Геометрия.Скачать

Диагональ прямоугольника. Математика. Геометрия.

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /Скачать

КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /

СТРАННАЯ ЗАДАЧА ПРО ТРАПЕЦИЮ | Как найти площадь через диагонали | №23 ОГЭСкачать

СТРАННАЯ ЗАДАЧА ПРО ТРАПЕЦИЮ | Как найти площадь через диагонали | №23 ОГЭ

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали
Поделиться или сохранить к себе: