Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

  1. Как находить площадь четырехугольника 4 классЧетырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
  2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
  3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
  4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
  5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
  6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
  7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
  8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Заключение

Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов — квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:

  1. S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2);
  2. S = rad(( p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ) − a*b*c*d*c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);
  3. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра​.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

Видео

Разобраться в этой теме вам поможет видео.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Как найти площадь фигуры?

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площади четырехугольников

Как находить площадь четырехугольника 4 классФормулы для площадей четырехугольников
Как находить площадь четырехугольника 4 классВывод формул для площадей четырехугольников
Как находить площадь четырехугольника 4 классВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

a и b – основания,
h – высота

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс,
Как находить площадь четырехугольника 4 класс

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникКак находить площадь четырехугольника 4 классS = ab
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
ПараллелограммКак находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
КвадратКак находить площадь четырехугольника 4 классS = a 2
Как находить площадь четырехугольника 4 классS = 4r 2
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
РомбКак находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
ТрапецияКак находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 классS = m h
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
ДельтоидКак находить площадь четырехугольника 4 классS = ab sin φ
Как находить площадь четырехугольника 4 классКак находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольникКак находить площадь четырехугольника 4 класс
Вписанный четырёхугольникКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – смежные стороны

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс,
Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Параллелограмм
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Квадрат
Как находить площадь четырехугольника 4 классS = a 2

где
a – сторона квадрата

Как находить площадь четырехугольника 4 классS = 4r 2

Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Ромб
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Трапеция
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Дельтоид
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 классКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Вписанный четырёхугольник
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
Прямоугольник
Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – смежные стороны

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a – сторона квадрата

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияКак находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Как находить площадь четырехугольника 4 класс

ДельтоидКак находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Произвольный выпуклый четырёхугольникКак находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникКак находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Как находить площадь четырехугольника 4 класс,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Как находить площадь четырехугольника 4 класс,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Как находить площадь четырехугольника 4 класс
(рис.6).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Как находить площадь четырехугольника 4 класс,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Как находить площадь четырехугольника 4 класс

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🌟 Видео

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Как найти площадь этого треугольника, не зная формулы?Скачать

Как найти площадь этого треугольника, не зная формулы?

Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Как найти площадь и периметр прямоугольника?

4 класс, 25 урок, Площадь прямоугольного треугольникаСкачать

4 класс, 25 урок, Площадь прямоугольного треугольника

Как найти площадь прямоугольника? Попробуй решить задачуСкачать

Как найти площадь прямоугольника? Попробуй решить задачу

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как различать периметр и площадь?

Как найти площадь фигуры? | ВПР по математике в 4 классе | Задание №5Скачать

Как найти площадь фигуры? | ВПР по математике в 4 классе | Задание №5

4 класс Задачи на нахождение площадиСкачать

4 класс  Задачи на нахождение площади

Что такое площадь? Как найти площадь?Скачать

Что такое площадь? Как найти площадь?
Поделиться или сохранить к себе: