Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Задачник «Векторный метод решения задач»
Содержание
  1. «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
  2. Докажите что векторы ABCD ПРЯМОУГОЛЬНИК?
  3. В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см?
  4. Какое правило для сложения векторов выражает равенство вектор BD = вектор BC + вектор BA?
  5. Докажите , что если в параллелограмме ABCD углы ABD и BAC равны , то этот параллелограмм — прямоугольник?
  6. Среди векторов , определенных сторонами прямоугольника ABCD , найдите : 1) коллинеарные ; 2) перпендикулярные ; 3) равные между собой векторы?
  7. В прямоугольнике ABCD BD — диагональ?
  8. Выражение скалярного произведения через координаты векторов даны точки А(1 ; 1), B(4 ; 4), C(0 ; 4), D( — 4 ; 4)?
  9. Дан квадрат ABCD ?
  10. Докажите что прямоугольник ABCD и треугольник AKD изображенные на рис?
  11. В четырехугольнике ABCD известно, что вектор ВС = — векторDA?
  12. Дан прямоугольник ABCD?
  13. Четырехугольники
  14. теория по математике 📈 планиметрия
  15. Выпуклый четырехугольник
  16. Виды и свойства выпуклых четырехугольников
  17. Прямоугольник
  18. Квадрат
  19. Параллелограмм
  20. Трапеция
  21. Виды трапеций
  22. Средняя линия трапеции
  23. 💥 Видео

Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник Определение прямоугольникаСкачать

Задание 25 Доказать, что четырёхугольник прямоугольник  Определение прямоугольника

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Задачник «Векторный метод решения задач»

Составила: Казакова Ольга Сергеевна,

учитель математики МОУ «СОШ № 75» г. Саратова.

Данный задачник предназначен для изучения тем: «Векторы», «Действия с векторами», «Векторный метод решения задач». Инструктивное изложение материала, при постоянной практической пробе, даёт возможность изучить темы самостоятельно.

1.Заполните таблицу. Основные понятия.

Решение и изображение

1)На плоскости отметьте точки A и B , постройте отрезок AB ;

2)На отрезке AB пусть точка A будет началом, а точка B – концом. Укажите стрелкой в конце отрезка направление из начала в конец. Вы получили отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, то есть получили направленный отрезок или вектор .

3)Построен вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, его можно обозначить и однострочной латинской буквой, например, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, которая записывается над изображением вектора.

Сколько векторов можно провести, выбирая начало и конец среди данных на плоскости:

2)трёх точек, не лежащих на одной прямой;

3)четырёх точек, не лежащих на одной прямой?

Отметьте на плоскости любую точку и обозначьте её, например, заглавной буквой M . Вы построили нулевой вектор, его начало и конец совпадают.

Обозначение нулевого вектора: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамили символом Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

1)Постройте отрезок AB , длина которого 4 см;

2)Постройте вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Длиной или модулем ненулевого вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамназывается длина отрезка AB .

Обозначение: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам= AB = 4.

Чему равна длина нулевого вектора?

3)Постройте вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длиной 7 см.

1)Постройте параллельные прямые p и m .

2)На прямой p постройте:

а)вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, произвольной длины и направления;

б)вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, произвольной длины и направления;

3)На прямой m постройте: вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, произвольной длины и направления.

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4)Выпишите попарно коллинеарные векторы.

5)Постройте и обозначьте два произвольных вектора, которые являются не коллинеарными вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Будут ли они являться коллинеарными векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам?

Постройте два коллинеарных вектора.

Полученные векторы направлены одинаково или противоположно?

Если одинаково, то вы построили сонаправленные векторы. Обозначение:

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Если противоположно, то вы построили противоположно направленные векторы. Обозначение: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Начертите параллелограмм ABCD . Проведите векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя вершинами параллелограмма. Сколько существует пар векторов, которые являются:

1)коллинеарными друг другу;

Постройте векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, так, чтобы:

1) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

2) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Вы построили равные векторы.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

2.Заполните таблицу. Операции над векторами.

Решение и изображение

На плоскости произвольно выберите точку A , приняв её за начало, проведите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, произвольной длины и направления. Таким образом, вы отложили вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамот точки A .

Можно отложить от другой точки плоскости, вектор, равный данному вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам?

Допустим, что вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамненулевой, а точки A и B – его начало и конец.

1)Через произвольно взятую точку M плоскости проведите прямую p , параллельную AB (если M – точка прямой AB , то в качестве прямой p возьмём саму прямую AB ).

2)На прямой p отложите два противоположно направленных вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длины которых равны отрезку AB .

Среди построенных векторов выберите тот, что сонаправлен с вектором Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, он и будет являться искомым вектором, равным вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. К тому же такой вектор только один, что следует из построения.

А если вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– нулевой? Ответьте самостоятельно.

Итак, от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, и при том только один.

1)Векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

2)Произвольная точка A .

3)От точки A отложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, равный вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

4)От точки B отложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, равный вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

5)Вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Вы, таким образом, выполнили построение сложения векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторампо правилу треугольника . Вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамназывается суммой векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Докажем, что если Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Рассмотрим случай, когда точки A , B , Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, точки B , C , Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами точки A , C , Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамне лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

а) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

б) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

в)Соединим точки A и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, B и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, C и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

2) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамКак доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– параллелограмм  Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

3) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамКак доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– параллелограмм  Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

4)Из 2) и 3)  Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамКак доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– параллелограмм;

5)Значит, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Доказано.

Вывод: при необходимости можно работать как с данными векторами, так и с равными им.

Законы сложения векторов.

Для любых векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамсправедливы равенства:

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(переместительный закон)

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(сочетательный закон)

Доказательство законов проведите самостоятельно, опираясь на подсказки:

Для доказательства первого закона можете достроить треугольник до параллелограмма и работать как с самими векторами, так и с равными им.

Для доказательства второго закона достаточно несколько раз применить правило треугольника для сложения векторов, последовательно отложенных от концов предыдущих векторов.

1)Произвольная точка A ;

2)Неколлинеарные векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

3) От точки A отложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, равный вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

4)От точки A отложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, равный вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

5)Постройте параллелограмм ABCD ;

6) Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Вы построили сложение векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторампо правилу параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.

Как сложить несколько векторов?

Последовательное применение правила треугольника для сложения векторов даёт возможность сложить любое количество векторов. Причём порядок сложения не важен. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: два вектора складываются, получившаяся сумма складывается с третьим и т.д.

Выполните сложение пяти любых векторов, используя то, что несколько векторов можно расположить таким образом: первый вектор откладывается от любой точки, второй – от конца первого и т.д. Сумма всех векторов – вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

Вы выполнили построение сложения нескольких векторов, пользуясь правилом многоугольника .

Подумайте, чему будет равна сумма векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего?

Разностью векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамназывается такой вектор, сумма которого с вектором Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамравна вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамназывается противоположным вектору Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, если векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамимеют равные длины и противоположно направлены. Обозначение: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Докажите, что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Для этого воспользуйтесь определением разности векторов и прибавлением к обеим частям равенства вектора.

На прямой p от любой точки O отложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, от конца вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамотложите вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Длина построенного суммарного вектора, равна Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамили Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Произведением ненулевого вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам на число k называется такой вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длина которого равна Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, причём векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамсонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Из определения следует:

1)произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2)для любого числа k и любого вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамвекторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамколлинеарны.

Свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел k , l и любых векторов Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамсправедливы равенства:

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(сочетательный закон)

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(первый распределительный закон)

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(второй распределительный закон)

На прямой p от произвольно выбранной точки O отложите: вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длиной 1 см; вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, сонаправленный с вектором Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длиной 2 см; вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, противоположно направленный с вектором Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, длиной 3 см.

Попробуем выразить векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамчерез вектор Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Во сколько раз длины этих векторов отличаются от длины вектора Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам?

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам; Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, т. е. векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамколлинеарны друг другу, значит, можно воспользоваться леммой.

Если векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам коллинеарны и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то существует такое число k , что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Итак, можем выразить: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

От произвольной точки O отложите векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– произвольные данные векторы. Если Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамне являются сонаправленными, то лучи OA и OB образуют угол AOB , градусную меру которого обозначьте буквой α. Будем говорить, что угол между векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам и Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамравен α. Обозначение: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Если Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Если Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то векторы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамназываются перпендикулярными.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Напишите формулу скалярного произведения для случаев, когда:

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам;

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Сделайте вывод, о том, в каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Напишите формулу скалярного произведения для случая, когда вектор скалярно умножается на себя. В этом случае скалярное произведение называется скалярным квадратом . Обозначение: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Итак, перечислите все операции над векторами.

3.Решая задачи, заполните пустые ячейки в таблице.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамk , что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

точки M и N совпадают

точка C принадлежит прямой AB

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, или
Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, или Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

точка С – середина отрезка AB

точка D разбивает отрезок AC так, что AD : DC = m : n

Заполняя таблицу, вы пользовались векторным методом решения задач.

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Далее вам необходимо самостоятельно решать задачи. После решения каждой задачи делайте вывод о её значимости. Если результат задачи возможно использовать для решения других, то заносите его в таблицу № 3. Таким образом, вы получите набор базовых задач, на основании которых решаются более сложные.

1)Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине.

2)Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основанию и её длина равна полусумме длин её оснований.

3)Если средняя линия четырёхугольника равна полусумме длин её оснований (сторон, не имеющих общей точки со средней линией), то этот четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.

4)Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD . Точки E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами AB и CD . Докажите, что отрезок EK параллелен основаниям трапеции.

5)Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Выразите биссектрису через угол треугольника, который она делит пополам, и через стороны этого угла.

6)Если точки M и N делят отрезки AB и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n , то выполняется равенство: Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

7)В треугольнике ABC через M обозначена точка пересечения медиан. Докажите, что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

8)Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC , O – произвольная точка. Докажите, что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

9)Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , O – центр описанной окружности. Докажите, что Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

10)Докажите, что три точки A , B , C ( A ≠ B ) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, в котором α+β=1, где O – некоторая точка.

11)Докажите, что центр описанной окружности

12)Докажите, что если точки пересечения диагоналей четырёхугольника и середины двух его противоположных сторон лежат на одной прямой, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

13)Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

14)Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

15)Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

16)Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

17)Докажите, что в произвольном четырёхугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) точкой их пересечения делятся пополам.

18)Найти косинус угла между диагоналями прямоугольника, стороны которого равны a и b .

19)Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

20)Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

21)Докажите, что если в треугольнике длины его сторон a , b , c связаны соотношением Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то угол этого треугольника, лежащий против стороны длины c , — прямой.

22)Даны стороны a , b , c треугольника. Найдите медианы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, проведённые к этим сторонам.

23)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину высоты Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, опущенную на сторону c .

24)В треугольнике со сторонами a , b , c найти длину биссектрисы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, проведённой к стороне c .

25)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

26)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин оснований.

27)Доказать, что большей медиане треугольника соответствует меньшая сторона и обратно.

28)Докажите, диагонали прямоугольника равны между собой.

29)Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

30)В четырёхугольнике ABCD прямая, проведённая через вершину A параллельна стороне BC , пересекает диагональ BD в точке M , а прямая проведённая через вершину B параллельно стороне AD , пересекает диагональ AC в точке N . Докажите, что MN || DC .

31)Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N , и по две в точках A , B , C , D . Докажите, что ABCD – параллелограмм.

32)Пусть K , L , M , N – середины отрезков AB , BC , CD , DE пятиугольника ABCDE , а точки P и Q – середины отрезков KM и LN соответственно. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.

33)В плоскости даны четырёхугольник ABCD и точка M . Докажите, что точки, симметричные точке M относительно середин сторон этого четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

34)На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : AC = CN : CE = λ. Известно, что точки B , M , N лежат на одной прямой. Найдите λ.

35)Дан параллелограмм ABCD ( AD || BC , AB || CD ). На стороне AD выбрана точка K , а на AC – точка L так, что 5 AK = AD , 6 AL = AC . Докажите, что KL || BL и найдите отношение их длин.

36)Точки M и K на сторонах AB и BC треугольника ABC таковы, что AM : MB =3:4, CK : KB =2:3. Отрезки AK и CM пересекаются в точке N . Найдите отношение AN : NK .

37)Точка K на стороне AC и точки L , M на стороне BC треугольника ABC таковы, что AK : KC = CL : LB = BM : MC =1:2, N – середина стороны AC . Найти отношение, в котором точка пересечения отрезков KL и MN делит отрезок KL .

38)Через середину E медианы Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамтреугольника ABC проведена прямая AE , пересекающая сторону BC в точке F . Вычислить: AE : EF и CF : FB .

39)Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит сторону AD в отношении p , т. е. AM : MD = p ; точка N делит сторону DC в отношении q , т. е. DN : NC = q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислить отношения AS : SN и BS : SM .

40)В параллелограмме ABCD сторона AD разделена на n равных частей и первая точка деления M (считая от A ) соединена с B . В каком отношении делит точка N диагональ AC и отрезок MB ?

41)В треугольнике ABC проведена медиана CM . Прямая l пересекает отрезки CA , CM , CB в точках Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамсоответственно. Докажите равенство Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

42)На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки M и D так, что AM = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамAC , BD = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамBC , а на прямой AD – точка N так, что AN = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамAD . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. Какую часть от отрезка MB составляет отрезок MN ?

43)На стороне AD и диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что AM = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамAD , AN = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамAC . Доказать, что точки M , N и B лежат на одной прямой. В каком отношении делит точка N отрезок MB ?

44)На стороне AB треугольника ABC дана точка P , через которую проведены прямые параллельно его медианам A Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами A Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами пересекающие соответственно стороны треугольника в точках Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторами Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Докажите, что середина отрезка Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам(точка E ), а также точка P и точка G пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой и найдите отношение длин отрезков EG и EP .

45)Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции, боковых сторон, а также середины оснований лежат на одной прямой.

46)Через точку P – внутреннюю точку параллелограмма ABCD – проведены прямая KM || AD и прямая LN || AB , пересекающие стороны AB , BC , CD , DA параллелограмма в точках K , L , M , N соответственно. Q – точка пересечения средних линий четырёхугольника KLMN , S – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Докажите, что Q – середина отрезка PS .

47)Пусть Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам– середины сторон BC , AC , AB треугольника ABC . Доказать, что точки пересечения медиан треугольника ABC и треугольника Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамсовпадают.

48)Пусть ABCDEF – произвольный шестиугольник и U , V , W , X , Y , Z – середины его сторон. Докажите, что центры тяжести (т. е. точки пересечения медиан) треугольника UWY и треугольника VXZ совпадают.

49)Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.

50)На сторонах параллелограмма заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.

51)На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

52)В треугольнике ABC длины сторон связаны соотношением Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Докажите, что медианы, проведённые к сторонам AC и BC , взаимно перпендикулярны.

53)Найдите косинус угла между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника, проведёнными к его катетам.

54)Найти косинус угла между медианами равнобедренного треугольника, проведёнными к его боковым сторонам, при условии, что угол при вершине равен α.

55)Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к его боковым сторонам, а) перпендикулярны; б) образую угол Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

56)В треугольнике две стороны равны 2 и 4, а угол между ними равен Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам. Найти угол ψ между короткой стороной и медианой, проведённой к третьей стороне.

57)В окружности с центром O радиуса r вписан четырёхугольник ABCD . Доказать, что если Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

58)В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC . Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN прямой.

59)На стороне AB треугольника ABC с углом ABC , равным α , расположена точка K , причём AK = BC . Пусть P – середина BK , M – середина AC . Найдите угол APM .

60)Точка K – середина стороны AB квадрата ABCD , а точка M лежит на диагонали AC , причём AM : MC = 3 : 1. Докажите, что угол KMD равен Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

61)На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты AMNB и CKLA . Докажите, что медиана AP треугольника ABC перпендикулярна прямой ML .

62)На стороне AB треугольника ABC дана точка D . Выразить расстояние CD через длины сторон данного треугольника a , b , c и расстояния AD = m и DB = n .

63)Выразить расстояние от заданной точки O до точки M пересечения медиан треугольника ABC через длины сторон треугольника BC = a , AC = b , AB = c и расстояния от точки O до вершин треугольника OA = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, OB = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам, OC = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

64)В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC , а точка M – середина стороны CD . Найдите AD , если AK = 6, AM = 3,  KAM = Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам.

Список использованной литературы

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2009.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. – Минск: Вышэйш. школа, 1965.

Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия 7-9 кл. – М.: МЦНМО, 2006.

Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979.

Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. – М.: Просвещение, 1992.

Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.

Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 2001.

Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО, 2005.

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Докажите что векторы ABCD ПРЯМОУГОЛЬНИК?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажите что векторы ABCD ПРЯМОУГОЛЬНИК.

А(0 ; — 3)В( — 1 ; 0)С(5 ; 2)D(6 ; — 1).

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Посмотрим равны листороны — АВ и СД.

Вектор АВ = (0 — ( — 1)) и ( — 3 — 0) = (1 ; — 3).

Вектор СД = (6 — 5) и ( — 1 — 2) = (1 ; — 3).

Вектор АВ = СД, , , , значит, это прямоугольник.

Можна таким же образом доказать равенство векторов ВС = АД.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см?

В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см.

Найдите длину вектора AC.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:ОГЭ Задание 25 Доказать что четырехугольник квадратСкачать

ОГЭ Задание 25 Доказать что четырехугольник   квадрат

Какое правило для сложения векторов выражает равенство вектор BD = вектор BC + вектор BA?

Какое правило для сложения векторов выражает равенство вектор BD = вектор BC + вектор BA.

Притом, что ABCD — прямоугольник?

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Прямоугольник. 8 класс.

Докажите , что если в параллелограмме ABCD углы ABD и BAC равны , то этот параллелограмм — прямоугольник?

Докажите , что если в параллелограмме ABCD углы ABD и BAC равны , то этот параллелограмм — прямоугольник.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Среди векторов , определенных сторонами прямоугольника ABCD , найдите : 1) коллинеарные ; 2) перпендикулярные ; 3) равные между собой векторы?

Среди векторов , определенных сторонами прямоугольника ABCD , найдите : 1) коллинеарные ; 2) перпендикулярные ; 3) равные между собой векторы.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

В прямоугольнике ABCD BD — диагональ?

В прямоугольнике ABCD BD — диагональ.

Докажите, что треугольник ABD = треугольнику BCD.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Выражение скалярного произведения через координаты векторов даны точки А(1 ; 1), B(4 ; 4), C(0 ; 4), D( — 4 ; 4)?

Выражение скалярного произведения через координаты векторов даны точки А(1 ; 1), B(4 ; 4), C(0 ; 4), D( — 4 ; 4).

Докажите что четехуголник ABCD — ПРЯМОУГОЛЬНИК.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Дан квадрат ABCD ?

Дан квадрат ABCD .

Докажите равенство векторов BC и AD и объясните почему не равны векторы AB и BC.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Докажите что прямоугольник ABCD и треугольник AKD изображенные на рис?

Докажите что прямоугольник ABCD и треугольник AKD изображенные на рис.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Какой четырехугольник называется прямоугольником. Геометрия 8 класс. Глава 5Скачать

Какой четырехугольник называется прямоугольником. Геометрия 8 класс. Глава 5

В четырехугольнике ABCD известно, что вектор ВС = — векторDA?

В четырехугольнике ABCD известно, что вектор ВС = — векторDA.

Докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

8 класс, 7 урок, Прямоугольник

Дан прямоугольник ABCD?

Дан прямоугольник ABCD.

X — произвольная точка на плоскости.

Докажите что сумма векторов XA + XC = XB + XD.

Вы открыли страницу вопроса Докажите что векторы ABCD ПРЯМОУГОЛЬНИК?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Решение смотри на фотографии.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Возможны 2 случая : 1) Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 110°. Тогда смежный к нему угол равен 180 — 110 = 70°. Сумма углов при основании треугольника равна 180 — 70 = 110°, а каждый из углов при основании равнобедренного ..

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

1. Пусть один градус данного угла = х , тогда составим уравнение 2х + 3х + 7х = 180 12х = 180 х = 15 2 * 15 = 30 градусов 3 * 15 = 45 градусов 7 * 15 = 105 градусов. Ответ : 30, 45, 105 2. Пусть один градус данного угла = х , тогда составим уравнен..

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

1. Так как треугольники АВС и МNP равны, то их елементы тоже равные. Значит : ВС = NP = 12см угол С = углу Р = 121° 2. Нет, не могут , потому что MNP имеет разные по длинне стороны.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Так как у квадрата все стороны равны, а их диагонали при пересечении образуют перпендикуляр, то можно сделать вывод, что полученный четырехугольник — квадрат, а квадрата все стороны равны. Значит ВС = ВД ч. Т. д.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

BC + AD = 3 + 4 = 7cm = 7 + 7 = 14cm AB + CD = 14 : 2 = 7cm P = 14 + 7 = 21 cm.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

ВА = ВС , ∠В Общий(по условию) ∠ВАЕ = ∠ВСД, так как∠1 = ∠2⇒ треугольники АВЕ и ВСД равны по 2 углам и стороне значит АЕ = СД.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

А B = 77 + 8 = 85, А B = 85 треуг АBH : BH = AB AH = 85 — 77 = 1296, BH = 36 — высота ромба S = AD * BH = 85 * 36 = 3060.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Треугольники ABD и BCD подобны, т. К. у них равные углы. Один угол 90, угол BAD = 90 — ABD = DBC Из подобия вытекает AD / BD = BD / DC 9 / BD = BD / 16 BD ^ 2 = 16 * 9 BD = 4 * 3 = 12.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторамСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Как доказать что четырехугольник прямоугольник по векторам

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

💥 Видео

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Поделиться или сохранить к себе: