Геометрический смысл вектора градиента

Понятие производной по направлению

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM 1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

.

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 — точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

.

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

.

Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

.

08.3.2. Градиент

Определение 1. Градиентом функции И = F(X, У, Z) называ­ется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в точке М.

Для обозначения градиента функции используется символ

Аналогично в случае функции двух переменных И = F(X, У) Имеем

Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функ­ции введем понятие поверхности уровня. Это понятие анало­гично понятию линии уровня, рассмотренному в п. 8.2.

Определение 2. Поверхностью уровня функции И = F(X, у, z) Называется поверхность, на которой эта функция сохраняет по­стоянное значение

В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное выше остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фи­гурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5. Найти градиент и его модуль функции Z = в точке М (0, 1).

Решение. По формуле (8.8) имеем для функции двух пе­ременных

При Х = 0 и У = 1 получаем

Пример 6. Найти градиент и его модуль функции И = x2 + у2 — z2 в точке М (1, 1, -2).

Решение. По формуле (8.7) имеем

Подставляя в это выражение координаты точки М, полу­чаем

Пример 7. Найти поверхности уровня функции U = Х2 — 2Х + у2 + 2У — Z.

Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.9) имеем

Где С = С + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью Х = 1, У = -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с ко­ординатами (1, -1, -С).

Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и = /(Л/), дифференцируемую в некоторой точке М<х_у у_у г).

Определение 7. Градиентом функции и = /(*, у_у z) в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным

Для обозначения градиента функции используется символ grad и:

Поскольку единичный вектор / имеет координаты cos a, cos Р и cos у» производная по направлению для случая функции трех переменных запишется в виде:

т.е. — имеет форму скалярного произведения векторов / и grad м.

Перепишем формулу (I5.26) в другом виде:

где ер — угол между векторами / и grad м. Поскольку |/|=1, из этого равенства следует, что производная функции по направлению принимает максимальное значение при 1 + у 2 — z 2 в точке

Решение. По формуле (15.26) имеем:

Подставляя в это выражение координаты точки А/, получаем:

Пример 14. Найти поверхности уровня функции м = х ? -2х + >’ 2 + 2.у-г. Решение. Согласно определению поверхности уровня (15.28) имеем х 2 — 2х + + у 2 +2у- z = c_t откуда z = (х — I) 2 + O’ + I) 2 — С, где С = с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью х = 1, у в -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с координатами (1, -1, — С).