Задачи повышенной трудности по геометрии (стр. 4 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 |
Задача 2: Дана окружность радиуса r и на ней точка А. Найти множество точек 
, делящих всевозможные хорды, проведенные через точку А, в одном и том же отношении 
, где 
.
Решение. Возьмем прямоугольную систему координат так, чтобы центр данной окружности совпал с началом координат, а точка А имела координаты 
(рис. 20).
Пусть АВ — произвольная хорда, проходящая через точку А, а М — точка, множества , т. е. 
. Обозначив координаты точек В и М соответственно через 
и (х; у), будем иметь: 
.
Отсюда, учитывая, что , получаем:
.
Так как точка 
лежит на данной окружности, то 
, поэтому 
или 
Итак, доказано, что если М(х; у) — произвольная точка искомого множества , то ее координаты удовлетворяют последнему уравнению. Обратно, если координаты (х; у) точки М удовлетворяют последнему уравнению, то они удовлетворяют также уравнению:
Отсюда следует, что точка , координаты которой определяются равенствами: , лежит на данной окружности 
. С другой стороны, из равенств: получаем равенства: , т. е. точка М делит отрезок АВ в отношении и, следовательно, 
.
Таким образом, множество определяется уравнением:
т. е. является окружностью радиуса 
(без точки А) с центром в точке 
. Эта окружность при любом проходит через точку А. При = 1 одним из диаметров окружности является отрезок АО.
Задачи для аудиторной работы:
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
1. Найти множество всех точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек A и В есть постоянная величина c.
2. Найти множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний от двух данных точек А и В есть постоянная величина , не равная единице.
3. Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?
4. Два наблюдаемых пункта находится и точках 
и 
. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние а км, а от В на расстояние с км (с > а). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?
5. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие A, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 к. на 1 км, а для предприятия В 20 к. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
8. векторный метод
В курсе элементарной математики выделяются два типа задач, решаемых с помощью векторного метода:
I тип – задачи, связанные с использованием операций сложения векторов и умножения вектора на число;
Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать
II тип – задачи с использованием операций скалярного умножения векторов и разложения вектора по базису.
Второй тип задач имеет следующий алгоритм решения:
1. Выбираем базисные векторы (наиболее удобные для работы). Обычно, в качестве базисных векторов выбирают векторы, имеющие равные длины, с известной мерой угла между этими векторами.
2. Раскладываем «ключевой» вектор по базисным векторам.
3. Исходя из условия задачи, составляем, если необходимо, систему, связывающую неизвестные коэффициенты разложения «ключевого» вектора по базису.
4. Проверяем, что полученные числовые значения для коэффициентов удовлетворяют наложенным на них условиям.
Видео:№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОАСкачать
5. Ответ записываем в безвекторной форме.
При решении геометрических задач векторным методом следует помнить важные эвристики, представленные в разделе «Справочник».
Следующие примеры иллюстрируют векторный метод.
Задача 1: На сторонах АВ и АС треугольника АВС заданы точки М и N, такие, что 
и 
. Отрезки ВN и СМ пересекаются в точке K. В каком отношении точка К делит каждый из этих отрезков?
Решение. Обозначим 
и 
(рис. 21). Для того чтобы вычислить х и у, выразим вектор 
двумя способами через векторы 
и 
.
По формуле деления отрезка в данном отношении имеем:
и 
.
🎦 Видео
№173. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
№320. В тетраэдре ABCD точки М, N и К— середины ребер АС. ВС и CD соответственноСкачать
№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторамСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
№167. В тетраэдре DABС все ребра равны, точка М— середина ребра АС. Докажите, что ∠DMBСкачать
Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать
10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать
№336. Даны точки A, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы следующихСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
№174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, ACСкачать
№356. Точки E и F - середины середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = ВА + DCСкачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
